Question

【題目】如圖，是的直徑，延長(zhǎng)至點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)向的延長(zhǎng)線(xiàn)作垂線(xiàn)交該延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，交于點(diǎn)，已知，．

求的長(zhǎng)；

連結(jié)，延長(zhǎng)交于，連結(jié)．

①求的長(zhǎng)；

②求證：是的切線(xiàn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②見(jiàn)解析

【解析】

（1）在直角△OPC中，利用勾股定理即可得到圓的半徑長(zhǎng)，然后利用相似三角形的性質(zhì)求得BE的長(zhǎng)；

（2）①證明△OBD是等邊三角形，即可求得DE的長(zhǎng)；

②首先證明△OPC≌△OPF，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可證得．

（1）設(shè)圓的半徑是r，則OP=PA+r=1+r，OC=r，PC=r．

∵PC是圓的切線(xiàn)，∴∠PCO=90°，在直角△PCO中，PC2+OC2=OP2，即（r）2+r2=（1+r）2，解得：r=1或r=﹣（舍去負(fù)值）．

在直角△OPC中，cos∠POC==，∴∠POC=60°．

∵∠PCO=90°，BE⊥BC，∴BE∥OC，∴△OPC∽△BPE，∠OBD=∠POC=60°，∴==，∴BE=OC=；

（2）①在△OBD中，OB=OD，∠OBD=60°，∴△OBD是等邊三角形，BD=OB=1，∠BOD=60°，∴DE=BE﹣BD=﹣1=；

②∵∠POC=60°，∠BOD=60°，∴∠POF=60°，∴∠POC=∠POF．在△OPC和△OPF中，∵，△OPC≌△OPF（SAS），∴∠OFP=∠OCP=90°，∴PF是⊙O的切線(xiàn)．