Question

【題目】已知點A，B分別是x軸、y軸上的動點，點C，D是某個函數(shù)圖象上的點，當四邊形ABCD（A，B，C，D各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形．例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形．

（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；
（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)y= （k＞0），他的圖象的伴侶正方形為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；
（3）若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0），它的圖象的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個點坐標為（3，4）．寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標 ， 寫出符合題意的其中一條拋物線解析式 ， 并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù) ．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

當點A在x軸正半軸，點B在y軸負半軸上時，

∵OC=0D=1，

∴正方形ABCD的邊長CD= ；∠OCD=∠ODC=45°，

當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時，

設小正方形的邊長為a，

易得CL=小正方形的邊長=DK=LK，故3a=CD= ．

解得a= ，所以小正方形邊長為 ，

∴一次函數(shù)y=x+1圖象的伴侶正方形的邊長為 或

（2）解：如圖2，作DE，CF分別垂直于x、y軸，

易知△ADE≌△BAO≌△CBF

此時，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2﹣m，

∴OF=BF+OB=2，

∴C點坐標為（2﹣m，2），

∴2m=2（2﹣m），解得m=1．

反比例函數(shù)的解析式為y= ．

（3）（3,4）,y=﹣ x2+ ,偶數(shù)
【解析】解：（3）實際情況是拋物線開口向上的兩種情況中，另一個點都在（3，4）的左側，而開口向下時，另一點都在（3，4）的右側，與上述解析明顯不符合

①當點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上，點C坐標為（3，4）時：另外一個頂點為（4，1），對應的函數(shù)解析式是y=﹣ x2+ ；

②當點A在x 軸正半軸上，點 B在 y軸正半軸上，點D 坐標為（3，4）時：不存在，

③當點A 在 x 軸正半軸上，點 B在 y軸負半軸上，點C 坐標為（3，4）時：不存在

④當點A在x 軸正半軸上，點B在y軸負半軸上，點D坐標為（3，4）時：另外一個頂點C為（﹣1，3），對應的函數(shù)的解析式是y= x2+ ；

⑤當點A在x軸負半軸上，點B在y軸負半軸上，點D坐標為（3，4）時，另一個頂點C的坐標是（7，﹣3）時，對應的函數(shù)解析式是y=﹣ ；

⑥當點A在x軸負半軸上，點B在y軸負半軸上，點C坐標為（3，4）時，另一個頂點D的坐標是（﹣4，7）時，對應的拋物線為y= x2+ ；

∵由拋物線的伴侶正方形的定義知，一條拋物線有兩個伴侶正方形，是成對出現(xiàn)的，

∴所求出的任何拋物線的伴侶正方形個數(shù)為偶數(shù)．

【考點精析】通過靈活運用正方形的性質，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．