Question

（2010•承德二模）如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．
（1）求A、B兩點的坐標及直線AC的函數(shù)表達式；
（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，解x²-2x-3=0，可得AB的坐標；將C的橫坐標代入，易得其縱坐標，結合A的坐標，可得BC的方程；
（2）設出P點的橫坐標，表示出P、E的坐標，可得PE長度的表達式，進而根據(jù)x的取值范圍可得線段PE長度的最大值．
解答：解：（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，
∴A（-1，0）B（3，0）；
將C點的橫坐標x=2代入y=x²-2x-3
得y=-3，
∴C（2，-3），
設直線AC的解析式是y=kx+b，
把A（-1，0），C（2，-3）代入得：，
解得：k=-1，b=-1，
∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1；

（2）設P點的橫坐標為x（-1≤x≤2）（注：x的范圍不寫不扣分）
則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3）
∵P點在E點的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-）²+，
∴當時，PE的最大值=．
點評：本題考查學生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．