Question

【題目】如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過AC的中點O作EF⊥AC，交BC于點E，交AD于點F，連接AE，CF.

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)若AB=2，BC=4，求四邊形AECF的面積.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)5.

【解析】

（1）由四邊形ABCD是矩形可以得到∠DAC=∠BCA ，過AC的中點0作EF⊥AC，由線段的垂直平分線可知AF=CF，AE=CE，則有∠DAC=∠FCA，等量代混得∠BCA=∠FCA，根據三角形的內角和可得∠OEC=∠OFC，根據等腰三角形性質和菱形的性質，即可得出四邊形AECF菱形；

（2）由四邊形AECF為菱形可得AE=EC，設AE=x，根據AB=2，BC=4和勾股定理可以求出AE，利用求出即可.

(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形

∴AD∥BC

∴∠DAC=∠BCA

又∵過AC的中點0作EF⊥AC

∴AF=CF，AE=CE

∴∠DAC=∠FCA

∴∠BCA=∠FCA，∠COE=90°

∴∠OEC=∠OFC

∴EC=FC

∴AF=CF=CE=AE

四邊形AECF菱形

(2)由(1)得，四邊形AECF為菱形

∴AE=EC

設AE=x，則BE=BC-EC=

在RtΔABE中，

即：

解得，

∴

.