Question

【題目】【閱讀】
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（a，0）（a＞0），B（2，3），C（0，3）．過原點(diǎn)O作直線l，使它經(jīng)過第一、三象限，直線l與y軸的正半軸所成角設(shè)為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，我們把這個操作過程記為FZ[θ，a]．

（1）【理解】
若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，則這個操作過程為FZ[ ， ]；
（2）【嘗試】
若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)（如圖2），求θ；

（3）經(jīng)過FZ[45°，a]操作，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，若點(diǎn)E在四邊形0ABC的邊AB上，求出a的值；若點(diǎn)E落在四邊形0ABC的外部，直接寫出a的取值范圍；
（4）【探究】
經(jīng)過FZ[θ，a]操作后，作直線CD交x軸于點(diǎn)G，交直線AB于點(diǎn)H，使得△ODG與△GAH是一對相似的等腰三角形，直接寫出FZ[θ，a]．

Answer 1

【答案】
（1）45°；3
（2）

解：如答圖1所示，連接CD并延長，交x軸于點(diǎn)F．

在△BCD與△AFD中，

∴△BCD≌△AFD（ASA）．

∴CD=FD，即點(diǎn)D為Rt△COF斜邊CF的中點(diǎn)，

∴OD= CF=CD．

又由折疊可知，OD=OC，

∴OD=OC=CD，

∴△OCD為等邊三角形，∠COD=60°，

∴θ= ∠COD=30°

（3）

解：經(jīng)過FZ[45°，a]操作，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，則點(diǎn)D落在x軸上，AB⊥直線l，

如答圖2所示：

若點(diǎn)E在四邊形0ABC的邊AB上，

由折疊可知，OD=OC=3，DE=BC=2．

∵AB⊥直線l，θ=45°，

∴△ADE為等腰直角三角形，

∴AD=DE=2，

∴OA=OD+AD=3+2=5，

∴a=5；

由答圖2可知，當(dāng)0＜a＜5時，點(diǎn)E落在四邊形0ABC的外部

（4）

FZ[30°，2+ ]，F(xiàn)Z[60°，2+ ]．

如答圖3、答圖4所示．

【解析】解：【理解】
若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，由折疊性質(zhì)可知，OA=OC=3，θ= ∠AOC=45°，
∴FZ[45°，3]．
【理解】由折疊性質(zhì)可以直接得出．【嘗試】（2）如答圖1所示，若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)，連接CD并延長交x軸于點(diǎn)F．證明△BCD≌△AFD，進(jìn)而得到△OCD為等邊三角形，則θ=30°；（3）如答圖2所示，若點(diǎn)E在四邊形0ABC的邊AB上，則△ADE為等腰直角三角形，由此求出a=OA=OD+OA=5；由答圖2進(jìn)一步得到，當(dāng)0＜a＜5時，點(diǎn)E落在四邊形0ABC的外部．【探究】滿足條件的圖形有兩種，如答圖3、答圖4所示，