Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線 交x軸于A點，交y軸于B點，點C是線段AB的中點，連接OC，然后將直線OC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)30°交x軸于點D，再過D點作直線DC1∥OC，交AB與點C1，然后過C1點繼續(xù)作直線D1C1∥DC，交x軸于點D1，并不斷重復(fù)以上步驟，記△OCD的面積為S1，△DC1D1的面積為S2，依此類推，后面的三角形面積分別是S3，S4…，那么S1=_____，若S=S1+S2+S3+…+Sn，當n無限大時，S的值無限接近于_____．

Answer 1

【答案】 ，

【解析】解：過O作OC0⊥AB于C0，過D作DE⊥OC于E；

由直線AC的解析式可知：

當y=0時，x=3，則OA=3；

當x=0時，y=，則OB=；

故∠OBA=60°，∠OAB=30°；

由于C是Rt△AOB斜邊AB的中點，所以OC=CB，則△OBC是等邊三角形；

∴∠BOC=60°，∠DOC=∠DCO=30°；

∴OE=CE=；

（1）△ODE中，OE=，∠DOE=30°，則DE=，S△OCD=OCDE=；

（2）易知：S△AOB=OAOB=，S△BOC=S△AOB=，S△OBC0=S△OCC0=S△OBC=；

∴S△OC0A=S△OAB﹣S△OBC0=﹣=；

由題意易得：△OC0C、△DCC1、△D1C1D2…都相似，△ODC、△OD1C1、△D1C2D2…也都相似；設(shè)△OC0C、△DCC1、△D1C1D2…的面積和為S′，則：

S′：S=：S△OCD==3：2，∴S==×=；

故答案為： ．