Question

【題目】在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°

（1）如圖1，D，E是等腰Rt△ABC斜邊BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到△AFC，連接DF

①求證：△AED≌△AFD；

②當(dāng)BE＝3，CE＝7時(shí)，求DE的長(zhǎng)；

（2）如圖2，點(diǎn)D是等腰Rt△ABC斜邊BC所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ADE，當(dāng)BD＝3，BC＝9時(shí)，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②DE＝；（2）DE的值為3或3

【解析】

（1）①先證明∠DAE＝∠DAF，結(jié)合DA＝DA，AE＝AF，即可證明；②如圖1中，設(shè)DE＝x，則CD＝7﹣x．在Rt△DCF中，由DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，可得x2＝（7﹣x）2+32，解方程即可；

（2）分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖2中，連接BE．由△EAD≌△ADC，推出∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝5，推出∠EBD＝90°，推出DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，即可解決問題；②當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3中，同法可得DE2＝153．

（1）①如圖1中，

∵將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFC，

∴△BAE≌△CAF，

∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，

∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，

∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，

∴∠DAE＝∠DAF，

∵DA＝DA，AE＝AF，

∴△AED≌△AFD（SAS）；

②如圖1中，設(shè)DE＝x，則CD＝7﹣x．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵∠ABE＝∠ACF＝45°，

∴∠DCF＝90°，

∵△AED≌△AFD（SAS），

∴DE＝DF＝x，

∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，

∴x2＝（7﹣x）2+32，

∴x＝，

∴DE＝；

（2）∵BD＝3，BC＝9，

∴分兩種情況如下：

①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖2中，連接BE．

∵∠BAC＝∠EAD＝90°，

∴∠EAB＝∠DAC，

∵AE＝AD，AB＝AC，

∴△EAB≌△DAC（SAS），

∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，

∴∠EBD＝90°，

∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，

∴DE＝3；

②當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3中，連接BE．

同理可證△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，

∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，

∴DE＝3，

綜上所述，DE的值為3或3．