(2012•德陽(yáng))在平面直角坐標(biāo)xOy中,(如圖)正方形OABC的邊長(zhǎng)為4,邊OA在x軸的正半軸上,邊OC在y軸的正半軸上,點(diǎn)D是OC的中點(diǎn),BE⊥DB交x軸于點(diǎn)E.
(1)求經(jīng)過點(diǎn)D、B、E的拋物線的解析式;
(2)將∠DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度后,邊BE交線段OA于點(diǎn)F,邊BD交y軸于點(diǎn)G,交(1)中的拋物線于M(不與點(diǎn)B重合),如果點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
12
5
,那么結(jié)論OF=
1
2
DG能成立嗎?請(qǐng)說明理由;
(3)過(2)中的點(diǎn)F的直線交射線CB于點(diǎn)P,交(1)中的拋物線在第一象限的部分于點(diǎn)Q,且使△PFE為等腰三角形,求Q點(diǎn)的坐標(biāo).
分析:(1)本題關(guān)鍵是求得E點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式.如題圖,可以證明△BCD≌△BAE,則AE=CD,從而得到E點(diǎn)坐標(biāo);
(2)首先求出M點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求直線MB的解析式,令x=0,求得G點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得到線段CG、DG的長(zhǎng)度;由△BCG≌△BAF,可得AF=CG,從而求得OF的長(zhǎng)度.比較OF與DG的長(zhǎng)度,它們滿足OF=
1
2
DG的關(guān)系,所以結(jié)論成立;
(3)本問關(guān)鍵在于分類討論.△PFE為等腰三角形,如解答圖所示,可能有三種情況,需逐一討論并求解.
解答:解:(1)∵BE⊥DB交x軸于點(diǎn)E,OABC是正方形,
∴∠DBC=∠EBA.
在△BCD與△BAE中,
∠BCD=∠BAE=90°
BC=BA
∠DBC=∠EBA

∴△BCD≌△BAE(ASA),
∴AE=CD.
∵OABC是正方形,OA=4,D是OC的中點(diǎn),
∴A(4,0),B(4,4),C(0,4),D(0,2),∴E(6,0).
設(shè)過點(diǎn)D(0,2),B(4,4),E(6,0)的拋物線解析式為y=ax2+bx+c,則有:
c=2
16a+4b+c=4
36a+6b+c=0

解得
a=-
5
12
b=
13
6
c=2
,
∴經(jīng)過點(diǎn)D、B、E的拋物線的解析式為:y=-
5
12
x2+
13
6
x+2.

(2)結(jié)論OF=
1
2
DG能成立.理由如下:
由題意,當(dāng)∠DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度后,同理可證得△BCG≌△BAF,
∴AF=CG.
∵xM=
12
5
,
∴yM=-
5
12
xM2+
13
6
xM+2=
24
5
,∴M(
12
5
,
24
5
).
設(shè)直線MB的解析式為yMB=kx+b,
∵M(jìn)(
12
5
,
24
5
),B(4,4),
12
5
k+b=
24
5
4k+b=4
,
解得
k=-
1
2
b=6

∴yMB=-
1
2
x+6,
∴G(0,6),
∴CG=2,DG=4.
∴AF=CG=2,OF=OA-AF=2,F(xiàn)(2,0).
∵OF=2,DG=4,
∴結(jié)論OF=
1
2
DG成立.

(3)如圖,△PFE為等腰三角形,可能有三種情況,分類討論如下:
①若PF=FE.
∵FE=4,BC與OA平行線之間距離為4,
∴此時(shí)P點(diǎn)位于射線CB上,
∵F(2,0),
∴P(2,4),此時(shí)直線FP⊥x軸,
∴xQ=2,
∴yQ=-
5
12
xQ2+
13
6
xQ+2=
14
3
,∴Q1(2,
14
3
);
②若PF=PE.
如圖所示,∵AF=AE=2,BA⊥FE,
∴△BEF為等腰三角形,
∴此時(shí)點(diǎn)P、Q與點(diǎn)B重合,
∴Q2(4,4);
③若PE=EF.
∵FE=4,BC與OA平行線之間距離為4,
∴此時(shí)P點(diǎn)位于射線CB上,
∵E(6,0),
∴P(6,4).
設(shè)直線yPF的解析式為yPF=kx+b,
∵F(2,0),P(6,4),
2k+b=0
6k+b=4
,
解得
k=1
b=-2
,
∴yPF=x-2.
∵Q點(diǎn)既在直線PF上,也在拋物線上,
-
5
12
x2+
13
6
x+2=x-2,化簡(jiǎn)得5x2-14x-48=0,
解得x1=
24
5
,x2=-2(不合題意,舍去)
∴xQ=
24
5
,
∴yQ=xQ-2=
24
5
-2=
14
5

∴Q3
24
5
,
14
5
).
綜上所述,Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q1(2,
14
3
)或Q2(4,4)或Q3
24
5
,
14
5
).
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),考查內(nèi)容涉及初中數(shù)學(xué)代數(shù)與幾何的多個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),難度較大.本題第(3)問需要針對(duì)等腰三角形△PFE的三種可能情況進(jìn)行分類討論,避免漏解.
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(1)寫出點(diǎn)Q所有可能的坐標(biāo);
(2)求點(diǎn)Q在x軸上的概率;
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(1)求證:AE=CE;
(2)若EF與⊙O相切于點(diǎn)E,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且CD=CF=2cm,求⊙O的直徑;
(3)若EF與⊙O相切于點(diǎn)E,點(diǎn)C在線段FD上,且CF:CD=2:1,求sin∠CAB.

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4
4
個(gè).

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