Question

（2012•德陽(yáng)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)，CB的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E．
（1）求證：AE=CE；
（2）若EF與⊙O相切于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且CD=CF=2cm，求⊙O的直徑；
（3）若EF與⊙O相切于點(diǎn)E，點(diǎn)C在線段FD上，且CF：CD=2：1，求sin∠CAB．

Answer 1

分析：（1）連接DE，根據(jù)∠ABC=90°可知：AE為⊙O的直徑，可得∠ADE=90°，結(jié)合點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，可得出ED是AC的中垂線，從而可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)△ADE∽△AEF，可將AE解出，即⊙O的直徑求出；
（3）根據(jù)等角代換得出∠CAB=∠DEA，然后根據(jù)CF：CD=2：1，可得AC=CF，繼而根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半得出CE=BE=CF=AC，在RT△ADE中，求出sin∠DEA即可得出答案．

解答：證明：（1）連接DE，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE是⊙O直徑
∴∠ADE=90°，即DE⊥AC，
又∵D是AC的中點(diǎn)，
∴DE是AC的垂直平分線，
∴AE=CE；
（2）在△ADE和△EFA中，

∠ADE=∠AEF=90° ∠DAE=∠EAF

，
故可得△ADE∽△AEF，
從而

AE

AF

=

AD

AE

，即

AE

6

=

2

AE

，
解得：AE=2

3

cm；
即⊙O的直徑為2

3

cm．
（3）∵∠CAB+∠ACB=90°，∠DEA+∠DAE=90°，∠DAE=∠ACB，
∴∠CAB=∠DEA，
∵CF：CD=2：1，點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，
∴CF=2CD，AC=2CD，
∴AE=CE=AC=CF（斜邊中線等于斜邊一半）=2CD，
在RT△ADE中，sin∠DEA=

AD

AE

=

CD

2CD

=

1

2

．
故可得sin∠CAB=sin∠DEA=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓周角定理，切線的性質(zhì)及相似三角形判定及性質(zhì)，屬于圓類題目的綜合題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是熟練各個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)的內(nèi)容，并能準(zhǔn)確運(yùn)用，大綜合題都是對(duì)小知識(shí)點(diǎn)組合的考察，因此需要我們將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通．