(2013•龍巖)如圖,四邊形ABCD是菱形,對角線AC與BD交于點O,且AC=80,BD=60.動點M、N分別以每秒1個單位的速度從點A、D同時出發(fā),分別沿A→O→D和D→A運動,當點N到達點A時,M、N同時停止運動.設運動時間為t秒.
(1)求菱形ABCD的周長;
(2)記△DMN的面積為S,求S關于t的解析式,并求S的最大值;
(3)當t=30秒時,在線段OD的垂直平分線上是否存在點P,使得∠DPO=∠DON?若存在,這樣的點P有幾個?并求出點P到線段OD的距離;若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)勾股定理及菱形的性質,求出菱形的周長;
(2)在動點M、N運動過程中:①當0<t≤40時,如答圖1所示,②當40<t≤50時,如答圖2所示.分別求出S的關系式,然后利用二次函數(shù)的性質求出最大值;
(3)如答圖3所示,在Rt△PKD中,DK長可求出,則只有求出tan∠DPK即可.為此,在△ODM中,作輔助線,構造Rt△OND,作∠NOD平分線OG,則∠GOF=∠DPK.在Rt△OGF中,求出tan∠GOF的值,從而問題解決.解答中提供另外一種解法,請參考.
解答:解:(1)在菱形ABCD中,
∵AC⊥BD
∴AD=
302+402
=50.
∴菱形ABCD的周長為200.

(2)過點M作MP⊥AD,垂足為點P.
①當0<t≤40時,如答圖1,
∵sin∠OAD=
MP
AM
=
OD
AD
=
3
5
,
∴MP=AM•sin∠OAD=
3
5
t.
S=
1
2
DN•MP=
1
2
×t×
3
5
t=
3
10
t2

②當40<t≤50時,如答圖2,MD=70-t,
∵sin∠ADO=
MP
MD
=
AO
AD
=
4
5
,∴MP=
4
5
(70-t).
∴S△DMN=
1
2
DN•MP=
1
2
×t×
4
5
(70-t)=-
2
5
t2+28t=-
2
5
(t-35)2+490.
∴S=
3
10
t2(0<t≤40)
-
2
5
(t-35)2+490(40<t≤50)

當0<t≤40時,S隨t的增大而增大,當t=40時,最大值為480.
當40<t≤50時,S隨t的增大而減小,當t=40時,最大值為480.
綜上所述,S的最大值為480.

(3)存在2個點P,使得∠DPO=∠DON.
方法一:如答圖3所示,過點N作NF⊥OD于點F,
則NF=ND•sin∠ODA=30×
40
50
=24,DF=ND•cos∠ODA=30×
30
50
=18.
∴OF=12,∴tan∠NOD=
NF
OF
=
24
12
=2.
作∠NOD的平分線交NF于點G,過點G作GH⊥ON于點H,則FG=GH.
∴S△ONF=
1
2
OF•NF=S△OGF+S△OGN=
1
2
OF•FG+
1
2
ON•GH=
1
2
(OF+ON)•FG.
∴FG=
OF•NF
OF+ON
=
12×24
12+12
5
=
24
1+
5
,
∴tan∠GOF=
GF
OF
=
24
1+
5
12
=
2
1+
5

設OD中垂線與OD的交點為K,由對稱性可知:∠DPK=
1
2
∠DPO=
1
2
∠DON=∠FOG
∴tan∠DPK=
DK
PK
=
15
PK
=
2
1+
5
,
∴PK=
15(
5
+1)
2

根據(jù)菱形的對稱性可知,在線段OD的下方存在與點P關于OD軸對稱的點P′.
∴存在兩個點P到OD的距離都是
15(
5
+1)
2


方法二:答圖4所示,作ON的垂直平分線,交OD的垂直平分線EF于點I,連結OI,IN.
過點N作NG⊥OD,NH⊥EF,垂足分別為G,H.
當t=30時,DN=OD=30,易知△DNG∽△DAO,
DN
DA
=
NG
AO
=
DG
OD
,即
30
50
=
NG
40
=
DG
30

∴NG=24,DG=18.
∵EF垂直平分OD,
∴OE=ED=15,EG=NH=3.
設OI=R,EI=x,則
在Rt△OEI中,有R2=152+x2        ①
在Rt△NIH中,有R2=32+(24-x)2     ②
由①、②可得:
x=
15
2
R=
15
5
2

∴PE=PI+IE=
15+15
5
2

根據(jù)對稱性可得,在BD下方還存在一個點P′也滿足條件.
∴存在兩個點P,到OD的距離都是
15+15
5
2

(注:只求出一個點P并計算正確的扣(1分).)
點評:本題考查了相似三角形的判定與性質、菱形、等腰三角形、中垂線、勾股定理、解直角三角形、二次函數(shù)極值等知識點,涉及考點較多,有一定的難度.第(2)問中,動點M在線段AO和OD上運動時,是兩種不同的情形,需要分類討論;第(3)問中,滿足條件的點有2個,注意不要漏解.
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3
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3

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6
6
;
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3
-
1
2
3
-
1
2
;
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