Question

如圖，E為?ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F，與DC交于點(diǎn)G．
（1）寫出所有與△ABE相似的三角形，并選擇其中一對(duì)相似三角形加以證明；
（2）若BC=2CE，求

DF

FB

的值．
（3）若BC=k•CE，求

AF

FG

的值．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，AD∥BC，平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，即可得△ABE∽△GCE∽△GDA；
（2）易證得△ADF∽△EBF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得

DF

FB

=

AD

BE

，又由BC=2CE，即可求得

DF

FB

的值；
（3）易證得△ECG∽△EBA，△ABF∽△GDF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得：

CG

AB

=

CE

BE

，

AF

FG

=

AB

DG

，又由BC=k•CE，即可求得

AF

FG

的值．

解答：解：（1）△ABE∽△GCE∽△GDA；
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△GCE，△GCE∽△GDA，
∴△ABE∽△GCE∽△GDA；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴

DF

FB

=

AD

BE

，
∵BC=2CE，
∴AD：BE=2：3，
∴

DF

FB

=

2

3

；

（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴△ECG∽△EBA，△ABF∽△GDF，
∴

CG

AB

=

CE

BE

，

AF

FG

=

AB

DG

，
∵BC=k•CE，
∴

CG

AB

=

CE

BE

=

1

k+1

，
∴

CG

DG

=

1

k

，
∴

DG

AB

=

k

k+1

，
∴

AF

FG

=

k+1

k

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似與相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用．