課題學(xué)習(xí):
(1)如圖1,E、F、G、H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn),則四邊形EFGH是
正方
正方
形,正方形ABCD的面積記為S1,EFGH的面積為S2,則S1和S2間的數(shù)量關(guān)系:
S1=2S2
S1=2S2
;
(2)如圖2,E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn),則四邊形EFGH是
形,菱形ABCD的面積為S1,EFGH的面積為S2,則S1和S2間的數(shù)量關(guān)系:
S1=2S2
S1=2S2
;
(3)如圖3,梯形ABCD中,AD∥BC,對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD,垂足為O,E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn).四邊形EFGH是
形;若梯形ABCD的面積記為S1,四邊形EFGH的面積記為S2,由圖可猜想S1和S2間的數(shù)量關(guān)系為:
S1=2S2
S1=2S2

(4)如圖4,E、G分別是平行四邊形ABCD的邊AB、DC的中點(diǎn),H、F分別是邊形AD、BC上的點(diǎn),且四邊形EFGH為平行四邊形,若把平行四邊形ABCD的面積記為S1,把平行四邊形形EFGH的面積記為S2,試猜想S1和S2間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
分析:(1)連接AC、BD.先根據(jù)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)得出EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,EH=FG=
1
2
BD,EF=HG=
1
2
AC,則四邊形EFGH為平行四邊形,再由正方形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直,得出EF=FG,EF⊥FG,從而證明?EFGH是正方形;利用相似多邊形的面積比等于相似比的平方可求得S1=2S2;
(2)連接AC、BD.先根據(jù)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)得出EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,EH=FG=
1
2
BD,EF=HG=
1
2
AC,則四邊形EFGH為平行四邊形,再由菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直,得出EF⊥FG,從而證明?EFGH是矩形;利用相似三角形的面積比等于相似比的平方可求得S1=2S2;
(3)先根據(jù)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)得出EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,EH=FG=
1
2
BD,EF=HG=
1
2
AC,則四邊形EFGH為平行四邊形,再由AC⊥BD,得出EF⊥FG,從而證明?EFGH是矩形;利用相似多邊形的面積比等于相似比的平方可求得S1=2S2;
(4)過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AB于M,延長(zhǎng)MH交CD于N,先由垂線(xiàn)的唯一性得出MN為平行四邊形ABCD的邊AB、DC上的高,再根據(jù)三角形的面積公式得出S△AEH+S△DHG=
1
4
AB•MN=
1
4
S?ABCD,同理得出S△BEF+S△CFG=
1
4
AB•PQ=
1
4
S?ABCD,進(jìn)而求出S?EFGH=
1
2
S?ABCD,即S1=2S2
解答:解:(1)如圖1.連接AC、BD.
∵E、F、G、H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn),
∴EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,EH=FG=
1
2
BD,EF=HG=
1
2
AC,
∴四邊形EFGH為平行四邊形,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AC=BD,AC⊥BD,
∴EF=FG,EF⊥FG,
∴?EFGH是正方形;
∵正方形ABCD∽正方形EFGH,
∴S1:S2=(AB:EF)2=(2BE:
2
BE)2=(2:
2
2=2,
∴S1=2S2

(2)如圖2.連接AC、BD.
∵E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn),
∴EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,EH=FG=
1
2
BD,EF=HG=
1
2
AC,
∴四邊形EFGH為平行四邊形,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴EF⊥FG,
∴?EFGH是矩形;
在△ABD中,∵EH∥BD,
∴△AEH∽△ABD,
∵EH=
1
2
BD,
∴S△AEH:S△ABD=(EH:BD)2=
1
4
,即S△AEH=
1
4
S△ABD,
同理可證:S△CFG=
1
4
S△CBD
∴S△AEH+S△CFG=
1
4
(S△ABD+S△CBD)=
1
4
S菱形ABCD
同理可得S△BEF+S△DHG=
1
4
(S△ABC+S△CDA)=
1
4
S菱形ABCD,
∴S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DHG=
1
2
S菱形ABCD,
∴S矩形EFGH=S菱形ABCD-(S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DHG)=
1
2
S菱形ABCD,
∴S1=2S2;

(3)如題目圖3.∵E、F、G、H分別是梯形ABCD各邊的中點(diǎn),
∴EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,EH=FG=
1
2
BD,EF=HG=
1
2
AC,
∴四邊形EFGH為平行四邊形,
∵AC⊥BD,
∴EF⊥FG,
∴?EFGH是矩形;
在△ABD中,∵EH∥BD,
∴△AEH∽△ABD,
∵EH=
1
2
BD,
∴S△AEH:S△ABD=(EH:BD)2=
1
4
,即S△AEH=
1
4
S△ABD,
同理可證:S△CFG=
1
4
S△CBD
∴S△AEH+S△CFG=
1
4
(S△ABD+S△CBD)=
1
4
S梯形ABCD
同理可得S△BEF+S△DHG=
1
4
(S△ABC+S△CDA)=
1
4
S梯形ABCD,
∴S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DHG=
1
2
S梯形ABCD
∴S矩形EFGH=S梯形ABCD-(S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DHG)=
1
2
S梯形ABCD,
∴S1=2S2

(4)S1=2S2.理由如下:
如圖4.過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AB于M,延長(zhǎng)MH交CD于N.
∵AB∥CD,HM⊥AB,
∴HM⊥CD,即MN⊥CD,則MN為平行四邊形ABCD的邊AB、DC上的高.
∵E、G分別是平行四邊形ABCD的邊AB、DC的中點(diǎn),
∴AE=BE=CG=GD=
1
2
AB=
1
2
CD.
∵S△AEH=
1
2
AE•HM=
1
4
AB•HM,S△DHG=
1
2
GD•HN=
1
4
CD•HN,
∴S△AEH+S△DHG=
1
4
AB•HM+
1
4
CD•HN=
1
4
AB(HM+HN)=
1
4
AB•MN=
1
4
S?ABCD
同理可得S△BEF+S△CFG=
1
4
AB•FQ+
1
4
CD•FP=
1
4
AB(FQ+FP)=
1
4
AB•PQ=
1
4
S?ABCD,
∴S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DHG=
1
2
S?ABCD,
∴S?EFGH=S?ABCD-(S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DHG)=
1
2
S?ABCD,
∴S1=2S2
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形中位線(xiàn)的性質(zhì),特殊四邊形的判定和性質(zhì),相似多邊形的性質(zhì),多邊形的面積,綜合性較強(qiáng),有一定難度.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng).

活動(dòng)情境:

如圖2,將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊(折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G),使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處,F(xiàn)N與DC交于點(diǎn)M處,連接BF與EG交于點(diǎn)P.

 所得結(jié)論:

當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí):(如圖1)甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論(或結(jié)果):

甲:△AEF的邊AE=     cm,EF=     cm;

乙:△FDM的周長(zhǎng)為16 cm;

丙:EG=BF.

 你的任務(wù):

1.填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù);

2.  寫(xiě)出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過(guò)程;

3.當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任何一處(如圖2)時(shí):

① 試問(wèn)乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化?請(qǐng)證明你的結(jié)論;

② 丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎?若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由,若你認(rèn)為成立,先證明EG=BF,再求出S(S為四邊形AEGD的面積)與x(AF=x)的函數(shù)關(guān)系式,并問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí),S最大?最大值是多少?

 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng).
活動(dòng)情境:
如圖2,將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊(折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G),使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處,F(xiàn)N與DC交于點(diǎn)M處,連接BF與EG交于點(diǎn)P.
所得結(jié)論:
當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí):(如圖1)甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論(或結(jié)果):
甲:△AEF的邊AE=     cm,EF=    cm;
乙:△FDM的周長(zhǎng)為16 cm;
丙:EG=BF.
你的任務(wù):
【小題1】填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù);
【小題2】 寫(xiě)出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過(guò)程;
【小題3】當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任何一處(如圖2)時(shí):
① 試問(wèn)乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化?請(qǐng)證明你的結(jié)論;
② 丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎?若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由,若你認(rèn)為成立,先證明EG=BF,再求出S(S為四邊形AEGD的面積)與x(AF=x)的函數(shù)關(guān)系式,并問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí),S最大?最大值是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年江西省中等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷(一) 題型:解答題

某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng).
活動(dòng)情境:
如圖2,將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊(折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G),使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處,F(xiàn)N與DC交于點(diǎn)M處,連接BF與EG交于點(diǎn)P.
所得結(jié)論:
當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí):(如圖1)甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論(或結(jié)果):
甲:△AEF的邊AE=     cm,EF=    cm;
乙:△FDM的周長(zhǎng)為16 cm;
丙:EG=BF.
你的任務(wù):
【小題1】填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù);
【小題2】 寫(xiě)出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過(guò)程;
【小題3】當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任何一處(如圖2)時(shí):
① 試問(wèn)乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化?請(qǐng)證明你的結(jié)論;
② 丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎?若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由,若你認(rèn)為成立,先證明EG=BF,再求出S(S為四邊形AEGD的面積)與x(AF=x)的函數(shù)關(guān)系式,并問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí),S最大?最大值是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年江西省等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷(一) 題型:解答題

某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng).

活動(dòng)情境:

如圖2,將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊(折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G),使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處,F(xiàn)N與DC交于點(diǎn)M處,連接BF與EG交于點(diǎn)P.

 所得結(jié)論:

當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí):(如圖1)甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論(或結(jié)果):

甲:△AEF的邊AE=      cm,EF=     cm;

乙:△FDM的周長(zhǎng)為16 cm;

丙:EG=BF.

 你的任務(wù):

1.填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù);

2.  寫(xiě)出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過(guò)程;

3.當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任何一處(如圖2)時(shí):

① 試問(wèn)乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化?請(qǐng)證明你的結(jié)論;

② 丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎?若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由,若你認(rèn)為成立,先證明EG=BF,再求出S(S為四邊形AEGD的面積)與x(AF=x)的函數(shù)關(guān)系式,并問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí),S最大?最大值是多少?

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案