Question

【題目】閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠CDE．

求證：AB=CD．

證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此，要證AB=CD，必須添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．

現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中一種，對原題進行證明．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題方法一：作BF⊥DE于點F，CG⊥DE于點G，∴∠F=∠CGE=90°．又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE，∴△BFE≌△CGE．∴BF=CG．在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，∴△ABF≌△DCG．∴AB=CD．

方法二：作CF∥AB，交DE的延長線于點F，∴∠F=∠BAE．又∵∠ABE=∠D，∴∠F=∠D．∴CF=CD．

∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE，∴△ABE≌△FCE．∴AB=CF．∴AB=CD．

方法三：延長DE至點F，使EF=DE，又∵BE=CE，∠BEF=∠CED，∴△BEF≌△CED．∴BF=CD，∠D=∠F．又∵∠BAE=∠D，∴∠BAE=∠F．∴AB=BF．∴AB=CD．