Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，∠DCB=60°，AB+BC=8，則AC的長是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：設(shè)點O是AC的中點，以O為圓心，OA為半徑作圓O，然后根據(jù)圓周角定理以及勾股定理即可求出答案．

詳解：設(shè)點O是AC的中點，以O為圓心，OA為半徑作圓O，

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴由圓周角定理可知：點D與B在圓O上，

∵BD平分∠ABC，

∴AD=CD，

∴∠DCA=45°，

∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=15°，

連接OB，過點E作BE⊥AC于點E，

∴由圓周角定理可知：∠AOB=2∠ACB=30°

∴OB=2BE，

∴AC=2OB=4BE，

設(shè)AB=x，

∴BC=8-x

∵ABBC=BEAC，

∴4BE2=x（8-x）

∴AC2=16BE2=4x（8-x）

由勾股定理可知：AC2=x2+（8-x）2

∴4x（8-x）=x2+（8-x）2

∴解得：x=4±

當x=4+時，

∴BC=8-x=4-

∴AC=

當x=4-時，

BC=8-x=4+時，

∴AC=

故答案為：