Question

【題目】如圖，已知：在矩形ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且直線l繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，AM⊥l于點(diǎn)M，CN⊥l于點(diǎn)N，連接OM，ON

（1）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，如圖1，則OM、ON的數(shù)量關(guān)系為 ；

（2）當(dāng)直線l與線段CD交于點(diǎn)F時(shí)，如圖2（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)直線l與線段DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D3中作出符合條件的圖形，并判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？不必說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）OM=ON；（2）結(jié)論仍然成立．（3）結(jié)論仍然成立．

【解析】

試題分析：（1）OM=ON；易證△AOM≌△CON，所以O(shè)M=ON；

（2）結(jié)論仍然成立．如答圖2，作輔助線，證明△AEO≌△CNO，得點(diǎn)O為Rt△MEN斜邊上的中點(diǎn)，所以O(shè)M=ON結(jié)論成立；

（3）結(jié)論仍然成立．與（2）同理．

試題解析：（1）OM=ON；如題圖1，

∵O為AC的中點(diǎn)，

∴OA=OB，

∵AM⊥l于點(diǎn)M，CN⊥l于點(diǎn)N，

∴∠AMO=∠CNO=90°，

在△AMO和△CNO中，

，

∴△AMO≌△CNO（AAS）

∴OM=ON；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：

如答圖2，延長(zhǎng)NO，交AM于點(diǎn)E，

∵AM⊥l于點(diǎn)M，CN⊥l于點(diǎn)N，

∴AM∥CN，

∴∠OAE=∠OCN．

∵矩形ABCD，點(diǎn)O為對(duì)角線AC中點(diǎn)，

∴OA=OC．

在△AEO和△CNO中，

∴△AEO≌△CNO（ASA）

∴OE=ON，

∵Rt△MEN，點(diǎn)O為EN的中點(diǎn)

∴OM=ON（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：

如答圖3，延長(zhǎng)NO，交MA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

與（2）同理，可以證明OM=ON．