Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，對稱軸為直線l．設P為對稱軸l上的點，連接PA、PC，PA=PC

（1）∠ABC的度數(shù)為
（2）求P點坐標（用含m的代數(shù)式表示）
（3）在坐標軸上是否存在著點Q（與原點O不重合），使得以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似，且線段PQ的長度最��？如果存在，求出所有滿足條件的點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）45°
（2）

解：如圖1，作PD⊥y軸，垂足為D，設l與x軸交于點E，

由題意得，拋物線的對稱軸為：x=，

設點P坐標為：（，n），

∵PA=PC，

∴PA2=PC2，

即AE2+PE2=CD2+PD2，

∴（+1）2+n2=（n+m）2+（）2，

解得：n=，

∴P點的坐標為：（，）

（3）

解：存在點Q滿足題意，

∵P點的坐標為：（，），

∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2，

=（+1）2+（）2+（+m）2+（）2

=1+m2，

∵AC2=1+m2，

∴PA2+PC2=AC2，

∴∠APC=90°，

∴△PAC是等腰直角三角形，

∵以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似，

∴△QBC是等腰直角三角形，

∴由題意可得滿足條件的點Q的坐標為：（﹣m，0）或（0，m），

①如圖1，當Q點坐標為：（﹣m，0）時，

若PQ與x軸垂直，則=﹣m，

解得：m=，PQ=，

若PQ與x軸不垂直，

則PQ2=PE2+EQ2

=（）2+（+m）2

=m2﹣2m+

=（m﹣）2+

∵0＜m＜1，

∴當m=時，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，

∵＜，

∴當m=，即Q點的坐標為：（﹣，0）時，PQ的長度最小，

②如圖2，當Q點的坐標為：（0，m）時，

若PQ與y軸垂直，則=m，

解得：m=，PQ=，

若PQ與y軸不垂直，

則PQ2=PD2+DQ2=（）2+（m﹣）2

=m2﹣2m+

=（m﹣）2+，

∵0＜m＜1，

∴當m=時，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，

∵＜，

∴當m=，即Q點的坐標為：（0，）時，PQ的長度最小，

綜上所述：當Q點坐標為：（﹣，0）或（0，）時，PQ的長度最小．

【解析】（1）令x=0，則y=﹣m，C點坐標為：（0，﹣m），
令y=0，則x2+（1﹣m）x﹣m=0，
解得：x1=﹣1，x2=m，
∵0＜m＜1，點A在點B的左側，
∴B點坐標為：（m，0），
∴OB=OC=m，
∵∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；
所以答案是：45°