Question

【題目】綜合探究

已知拋物線y＝ax2+x+4的對稱軸是直線x＝3，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式和A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1，若點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），是否存在點(diǎn)P，使四邊形PBOC的面積最大？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形PBOC面積的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN＝3時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4；點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，0)（2）存在點(diǎn)P(4，6)，使得四邊形PBOC的面積最大；點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，6)，四邊形PBOC面積的最大值為32（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，6)、(6，4)、(4﹣2，﹣1)或(4+2，﹣﹣1)

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對稱軸方程，即可得到a的值，從而得到函數(shù)解析式，進(jìn)而求出A，B的值；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法，求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x+4），過點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，﹣x+4)，進(jìn)而求出PD的值，根據(jù)S四邊形PBOC＝S△BOC+S△PBC，得到二次函數(shù)解析式，即可得到答案；

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，﹣m2+m+4)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m，﹣m+4)，則MN=|﹣m2+2m |，根據(jù)MN=3，列出關(guān)于m的方程，即可求解．

（1）∵ 拋物線的對稱軸是：直線x＝3，

∴ ＝3，解得：a＝﹣，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4．

當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，0)；

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+x+4＝4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4)．

設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b（k≠0），

將B(8，0)，C(0，4)代入y＝kx+b得：，解得：，

∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+4．

假設(shè)存在點(diǎn)P，使四邊形PBOC的面積最大，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x+4），如圖1，

過點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，﹣x+4)，

∴PD＝﹣x2+x+4﹣(﹣x+4)＝﹣x2+2x，

∴S四邊形PBOC＝S△BOC+S△PBC＝×8×4+PDOB

＝16+×8(﹣x2+2x)＝﹣x2+8x+16

＝﹣（x﹣4）2+32

∴當(dāng)x＝4時(shí)，四邊形PBOC的面積最大，最大值是32．

∵0＜x＜8，

∴存在點(diǎn)P(4，6)，使得四邊形PBOC的面積最大，四邊形PBOC面積的最大值為32．

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，﹣m2+m+4)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m，﹣m+4)，如圖2，

∴MN＝|﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)|＝|﹣m2+2m |，

又∵ MN＝3，

∴ |﹣m2+2m |＝3，

當(dāng)0＜m＜8時(shí)，﹣m2+2m﹣3＝0，解得：m1＝2，m2＝6，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，6)或(6，4)；

當(dāng)m＜0或m＞8時(shí)，﹣m2+2m +3＝0，解得：m3＝4﹣2，m4＝4+2，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4﹣2，﹣1)或(4+2，﹣﹣1)．

答：點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，6）、(6，4）、(4﹣2，﹣1）或(4+2，﹣﹣1）．