Question

（2012•黃岡二模）產(chǎn)品按質(zhì)量可分成6種不同的檔次，若工時不變，每天可生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品40件，如果每提高一個檔次，每件利潤可增加1元，但每天要少生產(chǎn)2件產(chǎn)品．
（1）若最低檔次的產(chǎn)品每件利潤為16元時，生產(chǎn)哪種檔次的產(chǎn)品所得利潤最大？
（2）若最低檔次的產(chǎn)品每件利潤為22元時，生產(chǎn)哪種檔次的產(chǎn)品所得利潤最大？
（3）由于原材料價格浮動，生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品每件利潤可以從8元到24元不等，那么生產(chǎn)哪種檔次的產(chǎn)品所得利潤最大？

Answer 1

分析：（1）關(guān)系式為：利潤=（最低檔次的利潤+檔次-1）×[原來可生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)-2（檔次-1）]，求得相關(guān)代數(shù)式后，可利用頂點(diǎn)式求得相應(yīng)的對稱軸，進(jìn)而根據(jù)檔次為整數(shù)求得離對稱軸最近的整數(shù)檔次即可；
（2）結(jié)合（1）可得相應(yīng)關(guān)系式，進(jìn)而用頂點(diǎn)式可得相應(yīng)的最大值，根據(jù)生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品每件利潤的取值范圍可得相應(yīng)檔次產(chǎn)品的檔次．
（3）結(jié)合（1）可得相應(yīng)關(guān)系式，進(jìn)而用頂點(diǎn)式可得相應(yīng)的最大值，根據(jù)生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品每件利潤的取值范圍可得相應(yīng)檔次產(chǎn)品的檔次．

解答：解：（1）設(shè)生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品，獲得利潤為y元，則y=[40-2（x-1）][16+（x-1）]，
y=-2（x-3）²+648
故當(dāng)x=3時獲得的最大利潤為648元．

（2）設(shè)生產(chǎn)第n檔次的產(chǎn)品，獲得利潤為m元，則m=[40-2（n-1）][22+（n-1）]，
m=-2n²+882．
∵a=-2＜0，對稱軸為y軸．
∴拋物線開口下向下，在對稱軸的右側(cè)m隨n的增大而減小．
∴當(dāng)n=1時，m最大為880元．

（3）設(shè)生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品每件利潤為a元，生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品，獲得利潤為y元，
則y=[40-2（x-1）][a+（x-1）]
y=-2（x-

22-a

2

）²+

a2+20a+400

2

，
則當(dāng)x=

22-a

2

時，y_最大=

(a+20)2

2

，
∵8≤a≤24，x為1～6的整數(shù)，
∴

22-a

2

＞0，a取最大值時，y最大，
∴a＜22，
∴要使y最大，必須a=20，x=

22-20

2

=1．
即生產(chǎn)第1檔次的產(chǎn)品所得利潤最大．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用；得到每件產(chǎn)品的利潤及銷售量是解決本題的關(guān)鍵；根據(jù)最低檔次的產(chǎn)品的利潤的相應(yīng)的取值判斷出相應(yīng)檔次是解決本題的難點(diǎn)．