【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知矩形ABCD的三個頂點B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C.動點P從點A出發(fā),沿線段AB向點B運動.同時動點Q從點C出發(fā),沿線段CD向點D運動.點P,Q的運動速度均為每秒1個單位.運動時間為t秒.過點P作PE⊥AB交AC于點E.
(1)直接寫出點A的坐標,并求出拋物線的解析式;
(2)過點E作EF⊥AD于F,交拋物線于點G,當(dāng)t為何值時,△ACG的面積最大?最大值為多少?
(3)在動點P,Q運動的過程中,當(dāng)t為何值時,在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)存在點H,使以C,Q,E,H為頂點的四邊形為菱形?請直接寫出t的值.
【答案】(1)點A的坐標為(1,4),拋物線的解析式為y=x2+2x+3;
(2)當(dāng)t=2時,S△ACG的最大值為1;
(3)t的值為20-8或
【解析】試題分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可以寫出點A得到坐標;由頂點A的坐標可設(shè)該拋物線的頂點式方程為y=a(x-1)2+4,然后將點C的坐標代入,即可求得系數(shù)a的值(利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式);(2)利用待定系數(shù)法求得直線AC的方程y=-2x+6;由圖形與坐標變換可以求得點P的坐標(1,4-t),據(jù)此可以求得點E的縱坐標,將其代入直線AC方程可以求得點E或點G的橫坐標;然后結(jié)合拋物線方程、圖形與坐標變換可以求得GE=4-、點A到GE的距離為,C到GE的距離為2-;最后根據(jù)三角形的面積公式可以求得S△ACG=S△AEG+S△CEG=-(t-2)2+1,由二次函數(shù)的最值可以解得t=2時,S△ACG的最大值為1;(3)因為菱形是鄰邊相等的平行四邊形,所以點H在直線EF上.
試題解析:
(1)A(1,4).
由題意知,可設(shè)拋物線解析式為y=a(x1)2+4,
∵拋物線過點C(3,0),
∴0=a(31)2+4,
解得,a=1,
∴拋物線的解析式為y=(x1)2+4,即y=x2+2x+3.
(2)∵A(1,4),C(3,0),
∴可求直線AC的解析式為y=2x+6.
∵點P(1,4t).
∴將y=4t代入y=2x+6中,解得點E的橫坐標為x=1+.
∴點G的橫坐標為1+,代入拋物線的解析式中,可求點G的縱坐標為4.
∴GE=(4)(4t)=t.
又∵點A到GE的距離為,C到GE的距離為2,
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=EG+EG(2)
=2(t)= (t2)2+1.
當(dāng)t=2時,S△ACG的最大值為1.
(3)第一種情況如圖1所示,點H在AC的上方,由四邊形CQEH是菱形知CQ=CE=t,
根據(jù)△APE∽△ABC,知
,即,解得t=20;
第二種情況如圖2所示,
點H在AC的下方,由四邊形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t,PE=t,EM=2t,MQ=42t.
則在直角三角形EMQ中,根據(jù)勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2t)2+(42t)2=t2,
解得,t1=,t2=4(不合題意,舍去).
綜上所述,t=20或t=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖中顯示了10名同學(xué)平均每周用于閱讀課外書的時間和用于看電視的時間(單位:小時)。
(1)用有序?qū)崝?shù)對表示圖中各點。
(2)圖中有一個點位于方格的對角線上,這表示什么意思?
(3)圖中方格紙的對角線的左上方的點有什么共同的特點?它右下方的點呢?
(4)估計一下你每周用于閱讀課外書的時間和用于看電視的時間,在圖上描出來,這個點位于什么位置?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了掌握我市中考模擬數(shù)學(xué)試題的命題質(zhì)量與難度系數(shù),命題教師赴我市某地選取一個水平相當(dāng)?shù)某跞昙夁M行調(diào)研,命題教師將隨機抽取的部分學(xué)生成績(得分為整數(shù),滿分為160分)分為5組:第一組85~100;第二組100~115;第三組115~130;第四組130~145;第五組145~160,統(tǒng)計后得到如圖1和如圖2所示的頻數(shù)分布直方圖(每組含最小值不含最大值)和扇形統(tǒng)計圖,觀察圖形的信息,回答下列問題:
(1)本次調(diào)查共隨機抽取了該年級多少名學(xué)生?并將頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(2)若將得分轉(zhuǎn)化為等級,規(guī)定:得分低于100分評為“D”,100~130分評為“C”,130~145分評為“B”,145~160分評為“A”,那么該年級1600名學(xué)生中,考試成績評為“B”的學(xué)生大約有多少名?
(3)如果第一組有兩名女生和兩名男生,第五組只有一名是男生,針對考試成績情況,命題教師決定從第一組、第五組分別隨機選出一名同學(xué)談?wù)勛鲱}的感想,請你用列表或畫樹狀圖的方法求出所選兩名學(xué)生剛好是一名女生和一名男生的概率.
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【題目】畫圖并計算:已知線段AB=2 cm,延長線段AB至點C,使得2BC=AB,再反向延長AC至點D,使得AD=AC.
(1)準確地畫出圖形,并標出相應(yīng)的字母;
(2)線段DC的中點是哪個?線段AB的長是線段DC長的幾分之幾?
(3)求出線段BD的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定:小汽車在城街路上行駛速度不得超過70km/h.如圖,一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛,某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方30m的C處,過了2s后,測得小汽車與車速檢測儀間距離為50m,這輛小汽車超速了嗎?(參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換:1m/s=3.6km/h)
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【題目】如圖,數(shù)軸上點A、B所表示的數(shù)分別是4,8,
(1)請用尺規(guī)作圖的方法確定原點O的位置(不寫做法,保留作圖痕跡)
(2)已知動點M從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動,同時點N從點A出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動,設(shè)運動時間為t(t>0)秒.
①運動1秒后,點M表示的數(shù)是_____,點N表示的數(shù)為______
②運動t秒后,點M表示的數(shù)是_____,點N表示的數(shù)為______
③若線段BN=2,求此時t的大小以及相應(yīng)的M所表示的數(shù).
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【題目】2017年遵義市固定資產(chǎn)總投資計劃為2580億元,將2580億元用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.2.58×1011
B.2.58×1012
C.2.58×1013
D.2.58×1014
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情況為( )
A.沒有實數(shù)根
B.只有一個實數(shù)根
C.兩個相等的實數(shù)根
D.兩個不相等的實數(shù)根
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