【題目】已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是過點(diǎn)A的直線,過點(diǎn)D作DB⊥MN于點(diǎn)B,連接CB.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖①過點(diǎn)C作CE⊥CB,與MN交于點(diǎn)E,則易發(fā)現(xiàn)BD和EA之間的數(shù)量關(guān)系為 ;BD、AB、CB之間的數(shù)量關(guān)系為 .
(2)拓展探究
當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖②位置時(shí),BD、AB、CB之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,并證明.
(3)解決問題
當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖③位置時(shí)(點(diǎn)C,D在直線MN兩側(cè)),若此時(shí)∠BCD=30°,BD=2,則CB= .
【答案】(1)BD=AE,;(2),見解析;(3)
【解析】
(1)過點(diǎn)C作CE⊥CB,得到∠BCD=∠ACE,判斷出△ACE≌△DCB,確定△ECB為等腰直角三角形即可.
(2)過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C,判斷出△ACE≌△DCB,確定△ECB為等腰直角三角形,即可得出結(jié)論;
(3)先判斷出△ACE≌△BCD,CE=BC,得到△BCE為等腰直角三角形,得到,求出BH,再用勾股定理即可.
解:(1)如圖1,過點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E,
∵∠ACD=90°,
∴∠ACE=90°-∠ACB,∠BCD=90°-∠ACB,
∴∠ACE=∠BCD,
∵DB⊥MN,
∴在四邊形ACDB中,∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°,
∴∠BAC+∠D=180°,
∵∠CAE+∠BAC=180°,
∠CAE=∠D,
∵AC=DC,
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=DB,CE=CB,
∵∠ECB=90°,
∴△ECB是等腰直角三角形,
,
∴BE=AE+AB=DB+AB,
,
故答案為:BD=AE,;
(2)如圖2,過點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E,
∵∠ACD=90°,
∴∠ACE=90°+∠ACB,∠BCD=90°+∠ACB,
∴∠ACE=∠BCD,
∵DB⊥MN,
∴∠CAE=90°-∠AFB,∠D=90°-∠CFD,
∵∠AFB=∠CFD,
∴∠CAE=∠D,
∵AC=DC,
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=DB,CE=CB,
∵∠ECB=90°,
∴△ECB是等腰直角三角形,
,
,
;
(3)如圖3,過點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E,
∵∠ACD=90°,
∴∠ACE=90°-∠DCE,
∠BCD=90°-∠DCE,
∴∠ACE=∠BCD,
∵DB⊥MN,
∴∠CAE=90°-∠AFC,∠D=90°-∠CFD,
∵∠AFC=∠BFD,
∴∠CAE=∠D,
∵AC=DC,
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=DB,CE=CB,
∵∠ECB=90°,
∴△ECB是等腰直角三角形,
,
,
,
∵△BCE為等腰直角三角形,
∴∠BEC=∠CBE=45°,
∵∠ABD=90°,
∴∠DBH=45°
過點(diǎn)D作DH⊥BC,
∴△DHB是等腰直角三角形,
,
,
在Rt△CDH中,,
,
,
故答案為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BD是∠ABC的平分線,點(diǎn)O在AB上,⊙O經(jīng)過B,D兩點(diǎn),交BC于點(diǎn)E。
(1)試說明:AC是⊙O的切線;
(2)若BC=6,tan∠A=,求⊙O的半徑。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】釣魚是一項(xiàng)特別鍛煉心性的運(yùn)動,如圖,小南在江邊垂釣,河堤AB的坡度為1:2.4,AB長為3.9米,釣竿AC與水平線的夾角是60°,其長為4.5米,若釣竿AC與釣魚線CD的夾角也是60°,則浮漂D與河堤下端B之間的距離約為( )米.(參考數(shù)據(jù):≈1.732)
A. 1.732B. 1.754C. 1.766D. 1.823
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AD是⊙O的弦,點(diǎn)F是DA延長線的一點(diǎn),AC平分∠FAB交⊙O于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CE⊥DF,垂足為點(diǎn)E.
(1)求證:CE是⊙O的切線;
(2)若AE=1,CE=2,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在等邊△ABC中,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P為AB邊上的一個動點(diǎn),設(shè),圖1中線段DP的長為,若表示與的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示,則等邊△ABC的面積為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD,AD=1,CD=2,點(diǎn)P為邊CD上的動點(diǎn)(P不與C重合),作點(diǎn)P關(guān)于BC的對稱點(diǎn)Q,連結(jié)AP,BP和BQ,現(xiàn)有兩個結(jié)論:①若DP≥1,當(dāng)△APB為等腰三角形時(shí),△APB和△PBQ一定相似;②記經(jīng)過P,Q,A三點(diǎn)的圓面積為S,則4π≤S<.
下列說法正確的是( )
A. ①對②對B. ①對②錯C. ①錯②對D. ①錯②錯
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,D是邊AB上一點(diǎn),以BD為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)E,且交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若BF=6,⊙O的半徑為5,求CE的長.
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【題目】如圖,ABCO的頂點(diǎn)B、C在第二象限,點(diǎn)A(﹣3,0),反比例函數(shù)y=(k<0)圖象經(jīng)過點(diǎn)C和AB邊的中點(diǎn)D,若∠B=α,則k的值為( )
A. ﹣4tanαB. ﹣2sinαC. ﹣4cosαD. ﹣2tan
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【題目】如圖,輪船在處觀測燈塔位于北偏西方向上,輪船從處以每小時(shí)海里的速度沿南偏西方向勻速航行,小時(shí)后到達(dá)碼頭處,此時(shí),觀測燈塔位于北偏西方向上,則燈塔與碼頭的距離是____海里.(結(jié)果精確到個位,參考數(shù)據(jù):,,)
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