Question

(20分)已知△ABC中，∠A>∠B>∠C，且∠A=2∠B.若三角形的三邊長(zhǎng)為整數(shù)，面積也為整數(shù)，求△ABC面積的最小值.

Answer 1

記BC=a，CA=b，AB=c.
如圖，作∠BAC的平分線AD，則∠BAD=∠DAC=∠B，
∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B.

故△ACD△BCA.于是，b/a=CD/b.①
又由角平分線定理知b/c=CD/BD.從而，= =.②
由式①、②得=.
故a²=b(b+c).
若(b，c)=d，則由式①知d|a，故不妨設(shè)(b，c)=1.于是，可令
b=m²，b+c=n².則a=mn，c=n²-m².
由∠A>∠B>∠C，知a>b>c，即mn>m²>n²-m².
故m<n<  m.③
又m、n為正整數(shù)，從而， m-m>1，即m>  +1.④
設(shè)△ABC的面積為S，由海倫公式知
S=n(n+m)(n-m)·.
由式④知m≥3.又由式③容易驗(yàn)證:
當(dāng)3≤m≤7時(shí)，只有m=5時(shí)，n=6， =8(有理數(shù))，此時(shí)，
S=14×6×11×1×8=132.
下證當(dāng)m≥8，n≥9時(shí)，S>162.
由式③、④知(2m+n)(2m-n)>3m(2m- m)=(6-3)m²>(6-4)m²=(2-)²m²，
n(n+m)(n-m)>n(1+n)×1= (2+ )n².
由式⑤知    S>14×12(2+ 2)n²(2- 2)m=14n²
則當(dāng)m≥8，n≥9時(shí)，有S>162.
故S的最小值為132，此時(shí)，m=5，n=6.所以，a=30，b=25，c=11時(shí)，△ABC
面積最小，最小值為132.

解析