【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,﹣5),若拋物線頂點(diǎn)為P.
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)在直線OA上方的拋物線上任取一點(diǎn)M,連接MO、MA,求△MOA的面積取得最大時(shí)的點(diǎn)M坐標(biāo);
(3)如圖1,將原拋物線沿射線OP方向進(jìn)行平移得到新的拋物線,新拋物線與射線OP交于C、D兩點(diǎn).試問(wèn)線段CD的長(zhǎng)度是否為定值,若是請(qǐng)求出這個(gè)定值;若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.(提示:若點(diǎn)C(x1 , y1),D(x2 , y2),則CD的長(zhǎng)度d= )
【答案】
(1)
解:依題意﹣52+5m+m﹣4=﹣5,
∴m=4,
∴y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4
∴頂點(diǎn)P(2,4)
(2)
解:如圖1,
∵A(5,﹣5),
∴OA的解析式為y=﹣x,
設(shè)M(m,﹣m2+4m),(0<m<5)
∴N(m,﹣m),
∴MN=﹣m2+4m+m=﹣m2+5m,
∴S△MOA= MN|xA﹣xO|= (﹣m2+5m)5=﹣ (m2﹣5m)=﹣ (m﹣ )2+
∴當(dāng)m= 時(shí),△MOA的面積取得最大,此時(shí)的點(diǎn)M坐標(biāo)( , )
(3)
解:在拋物線平移的過(guò)程中,線段CD的長(zhǎng)度是為定值,
∵直線OP的解析式為y=2x,
∴可設(shè)新拋物線解析式為y=﹣(x﹣a)2+2a
聯(lián)立拋物線與OP,
,
∴﹣(x﹣a)2﹣ a=﹣ x,
∴x1=a,x2=a﹣2,x1﹣x2=2;
y1=2x1=2a,y2=2x2=2(a﹣2),y1﹣y2=4;
∴CD的長(zhǎng)度= = =2
∴在拋物線平移的過(guò)程中,線段CD的長(zhǎng)度是定值,定值為2
【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式,根據(jù)配方法,可得頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)先設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo),得出三角形MOA面積,進(jìn)而確定出點(diǎn)M的坐標(biāo).(3)根據(jù)平移規(guī)律,可得新拋物線,根據(jù)聯(lián)立拋物線與OP,可得C、D點(diǎn)的橫坐標(biāo),根據(jù)勾股定理,可得答案.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減。粚(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)且a≠0)的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y= 的圖象可能是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直且相等,則稱這個(gè)四邊形為“奇妙四邊形”.如圖1,四邊形ABCD中,若AC=BD,AC⊥BD,則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形.根據(jù)“奇妙四邊形”對(duì)角線互相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個(gè)重要性質(zhì):“奇妙四邊形”的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半.根據(jù)以上信息回答:
(1)矩形“奇妙四邊形”(填“是”或“不是”);
(2)如圖2,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”,若⊙O的半徑為6,∠BCD=60°.求“奇妙四邊形”ABCD的面積;
(3)如圖3,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”作OM⊥BC于M.請(qǐng)猜測(cè)OM與AD的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)習(xí)投影后,小明、小穎利用燈光下自己的影子長(zhǎng)度來(lái)測(cè)量一路燈的高度,并探究影子長(zhǎng)度的變化規(guī)律.如圖,在同一時(shí)間,身高為1.6m的小明(AB)的影子BC長(zhǎng)是3m,而小穎(EH)剛好在路燈燈泡的正下方H點(diǎn),并測(cè)得HB=6m.
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出形成影子的光線,并確定路燈燈泡所在的位置G;
(2)求路燈燈泡的垂直高度GH.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,3),點(diǎn)B在x軸上,將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD,點(diǎn)O、B對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C、D.
(1)若點(diǎn)B的坐標(biāo)是(﹣4,0),請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△ACD,并寫(xiě)出點(diǎn)C、D的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)D落在第一象限時(shí),試寫(xiě)出一個(gè)符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l:y=﹣x,雙曲線y= ,在l上取一點(diǎn)A(a,﹣a)(a>0),過(guò)A作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B,過(guò)B作y軸的垂線交l于點(diǎn)C,過(guò)C作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)D,過(guò)D作y軸的垂線交l于點(diǎn)E,此時(shí)E與A重合,并得到一個(gè)正方形ABCD,若原點(diǎn)O在正方形ABCD的對(duì)角線上且分這條對(duì)角線為1:2的兩條線段,則a的值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果將四根木條首尾相連,在相連處用螺釘連接,就能構(gòu)成一個(gè)平面圖形.
(1)若固定三根木條AB,BC,AD不動(dòng),AB=AD=2cm,BC=5cm,如圖,量得第四根木條CD=5cm,判斷此時(shí)∠B與∠D是否相等,并說(shuō)明理由.
(2)若固定一根木條AB不動(dòng),AB=2cm,量得木條CD=5cm,如果木條AD,BC的長(zhǎng)度不變,當(dāng)點(diǎn)D移到BA的延長(zhǎng)線上時(shí),點(diǎn)C也在BA的延長(zhǎng)線上;當(dāng)點(diǎn)C移到AB的延長(zhǎng)線上時(shí),點(diǎn)A、C、D能構(gòu)成周長(zhǎng)為30cm的三角形,求出木條AD,BC的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD的四邊相等,且面積為120cm2 , 對(duì)角線AC=24cm,則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為( )
A.52cm
B.40cm
C.39cm
D.26cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上,OC=3,OA=2 ,D是BC的中點(diǎn),將△OCD沿直線OD折疊后得到△OGD,延長(zhǎng)OG交AB于點(diǎn)E,連接DE,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為 .
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