【題目】定義:若以一條線段為對角線作正方形,則稱該正方形為這條線段的“對角線正方形”.例如,圖①中正方形ABCD即為線段BD的“對角線正方形”.如圖②,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3cm,BC=4cm,點P從點C出發(fā),沿折線CA﹣AB以5cm/s的速度運動,當點P與點B不重合時,作線段PB的“對角線正方形”,設點P的運動時間為t(s),線段PB的“對角線正方形”的面積為S(cm2).
(1)如圖③,借助虛線的小正方形網(wǎng)格,畫出線段AB的“對角線正方形”.
(2)當線段PB的“對角線正方形”有兩邊同時落在△ABC的邊上時,求t的值.
(3)當點P沿折線CA﹣AB運動時,求S與t之間的函數(shù)關系式.
(4)在整個運動過程中,當線段PB的“對角線正方形”至少有一個頂點落在∠A的平分線上時,直接寫出t的值.
【答案】(1)見解析;(2);(3)S=;
(4)t的值為s 或1s或s
【解析】試題分析:(1)t=0時,正方形的對角線為4,由此即可求出面積.
(2)如圖1中,當線段PB的“對角線正方形”有兩邊同時落在△ABC的邊上時,設正方形的邊長為x,由PE∥AB,可得 ==,解得x=,再求出PC的長即可解決問題.
(3)分兩種情形分別求解①如圖2中,當0≤t≤1時,作PH⊥BC于H.求出PB2即可.②如圖3中,當1<t<時,求出PB2即可.
(4)分三種情形討論①如圖4中,當D、E在∠BAC的平分線上時.②當點P運動到點A時,滿足條件,此時t=1s.③如圖5中,當點E在∠BAC的角平分線上時,分別求解即可.
試題解析:解:(1)線段AB的“對角線正方形”如圖所示:
(2)如圖1中,當線段PB的“對角線正方形”有兩邊同時落在△ABC的邊上時,設正方形的邊長為x.∵PE∥AB,∴=,∴=,解得x=,∴PE=,CE=4﹣=,∴PC==,∴t==s;
(3)①如圖2中,當0≤t≤1時,作PH⊥BC于H.
∵PC=5t,則HC=4t,PH=3t.在Rt△PHB中,PB2=PH2+BH2=(3t)2+(4﹣4t)2=25t2﹣32t+16,∴S=PB2=t2﹣16t+8.
②如圖3中,當1<t<時,∵PB=8﹣5t,∴S=PB2=t2﹣40t+32.
綜上所述:S=;
(4)①如圖4中,當D、E在∠BAC的平分線上時,易知AB=AP=3,PC=2,∴t=s.
②當點P運動到點A時,滿足條件,此時t=1s.
③如圖5中,當點E在∠BAC的角平分線上時,作EH⊥BC于H.
易知EB平分∠ABC,∴點E是△ABC的內心,四邊形EOBH是正方形,OB=EH=EO=BH==1(直角三角形內切圓半徑公式),∴PB=2OB=2,∴AP=1,∴t=s.綜上所述:在整個運動過程中,當線段PB的“對角線正方形”至少有一個頂點落在∠CAB的平分線上時,t的值為 s 或1s或 s;
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某班同學為了解2019年某小區(qū)家庭月均用水情況,隨機調查了該小區(qū)部分家庭,并將調查數(shù)據(jù)進行整理如下:
月均用水量x(t) | 頻數(shù)(戶) | 頻率 |
6 | 0.12 | |
0.24 | ||
16 | 0.32 | |
10 | 0.20 | |
4 | ||
2 | 0.04 |
請解答下列問題:
(1)把上面的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(2)求該小區(qū)用水量不超過15t的家庭占被調查家庭總數(shù)的百分比;
(3)若該小區(qū)有1000戶家庭,根據(jù)調查數(shù)據(jù)估計,該小區(qū)月均用水量超過20t的家庭大約有多少戶?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標系中,四邊形OABC為矩形,A(6,0),C(0,3),點M在邊OA上,且M(4,0),P、Q兩點同時從點M出發(fā),點P沿x軸向右運動;點Q沿x軸先向左運動至原點O后,再向右運動到點M停止,點P隨之停止運動.P、Q兩點運動的速度分別為每秒1個單位、每秒2個單位.以PQ為一邊向上作正方形PRLQ.設點P的運動時間為t(秒),正方形PRLQ與矩形OABC重疊部分(陰影部分)的面積為S(平方單位).
(1)用含t的代數(shù)式表示點P的坐標.
(2)分別求當t=1,t=3時,線段PQ的長.
(3)求S與t之間的函數(shù)關系式.
(4)直接寫出L落在第一象限的角平分線上時t的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)圖(1)是一個長為2m,寬為2n的矩形,把此矩形沿圖中虛線用剪刀均分為四個小長方形,然后按圖(2)的形狀拼成一個大正方形.請問:這兩個圖形的什么量不變?
(2)把所得的大正方形面積比原矩形的面積多出的陰影部分的面積用含m,n的代數(shù)式表示為(m-n)2或m2-2mn+n2 .
(3)由前面的探索可得出的結論是:在周長一定的矩形中,當 時,面積最大.
(4)若矩形的周長為24cm,則當邊長為多少時,該圖形的面積最大?最大面積是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀計算:
閱讀下列各式:,,……
回答下列三個問題:
(1)驗證:(5×0.2)10=__________;510×0.210=__________.
(2)通過上述驗證,歸納得出: =__________;=__________.
(3)請應用上述性質計算:
①
②.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀理解下面內容,并解決問題:
善于思考的小明在學習《實數(shù)》一章后,自己探究出了下面的兩個結論:
①,,和都是9×4的算術平方根,
而9×4的算術平方根只有一個,所以=.
②,,和都是9×16的算術平方根,
而9×16的算術平方根只有一個,所以 .
請解決以下問題:
(1)請仿照①幫助小明完成②的填空,并猜想:一般地,當a≥0,b≥0時,與、之間的大小關系是怎樣的?
(2)再舉一個例子,檢驗你猜想的結果是否正確.
(3)運用以上結論,計算:的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1個單位長度,Rt△ABC的頂點均在格點上,建立平面直角坐標系后,點A(4,3),點B(1,1),點C(4,1).
(1)畫出Rt△ABC關于y軸對稱的Rt△A1B1C1,(點A、B、C的對稱點分別是A1、B1、C1),直接寫出A1的坐標;
(2)將Rt△ABC向下平移4個單位,得到Rt△A2B2C2(點A、B、C的對應點分別是A2、B2、C2),畫出Rt△A2B2C2 ,連接A1C2,直接寫出線段A1C2的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸相交于點B,與y軸相交于點A,點E為線段AB中點,∠ABO的平分線BD與y軸相較于點D,點A、C關于點O對稱.
(1)求線段DE的長;
(2)一個動點P從點D出發(fā),沿適當?shù)穆窂竭\動到直線BC上的點F,再沿射線CB方向移動2個單位到點G,最后從點G沿適當?shù)穆窂竭\動到點E處,當P的運動路徑最短時,求此時點G的坐標;
(3)將△ADE繞點A順時針方向旋轉,旋轉角度α(0<α≤180°),在旋轉過程中DE所在的直線分別與直線BC、直線AC相交于點M、點N,是否存在某一時刻使△CMN為等腰三角形,若存在,請求出CM的長,若不存在,請說明理由.
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