【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點坐標是(2,1),并且經(jīng)過點(4,2),直線y= x+1與拋物線交于B,D兩點,以BD為直徑作圓,圓心為點C,圓C與直線m交于對稱軸右側(cè)的點M(t,1),直線m上每一點的縱坐標都等于1.

(1)求拋物線的解析式;
(2)證明:圓C與x軸相切;
(3)過點B作BE⊥m,垂足為E,再過點D作DF⊥m,垂足為F,求BE:MF的值.

【答案】
(1)

解:∵已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點坐標是(2,1),

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+1,

∵拋物線經(jīng)過點(4,2),

∴2=a(4﹣2)2+1,解得a= ,

∴拋物線解析式為y= (x﹣2)2+1= x2﹣x+2;


(2)

解:聯(lián)立直線和拋物線解析式可得 ,解得

∴B(3﹣ , ),D(3+ , + ),

∵C為BD的中點,

∴點C的縱坐標為 = ,

∵BD= =5,

∴圓的半徑為 ,

∴點C到x軸的距離等于圓的半徑,

∴圓C與x軸相切;


(3)

解:如圖,過點C作CH⊥m,垂足為H,連接CM,

由(2)可知CM= ,CH= ﹣1= ,

在Rt△CMH中,由勾股定理可求得MH=2,

∵HF= = ,

∴MF=HF﹣MH= ﹣2,

∵BE= ﹣1= ,

= =


【解析】(1)可設(shè)拋物線的頂點式,再結(jié)合拋物線過點(4,2),可求得拋物線的解析式;(2)聯(lián)立直線和拋物線解析式可求得B、D兩點的坐標,則可求得C點坐標和線段BD的長,可求得圓的半徑,可證得結(jié)論;(3)過點C作CH⊥m于點H,連接CM,可求得MH,利用(2)中所求B、D的坐標可求得FH,則可求得MF和BE的長,可求得其比值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

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A.
B.5
C.6
D.

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(1)如圖①,當點A'在第一象限,且滿足A'B⊥OB時,求點A'的坐標;

(2)如圖②,當P為AB中點時,求A'B的長;

(3)當∠BPA'=30°時,求點P的坐標(直接寫出結(jié)果即可).

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(2)設(shè)AP﹣EP=y,求y關(guān)于x的解析式及定義域;
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A. =
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