Question

【題目】問題探究：

（一）（新知學習）：圓內接四邊形的判斷定理：如果四邊形對角互補，那么這個四邊形內接于圓（即如果四邊形EFGH的對角互補，那么四邊形EFGH的四個頂點E、F、G、H都在同個圓上）．

（二）（問題解決）：已知⊙O的直徑為4，AB，CD是⊙O的直徑．P是上任意一點，過點P分別作AB，CD的垂線，垂足分別為N，M．

（1）若直徑AB⊥CD，點P為上一動點（不與B、C重合）（如圖一）．

① 證明：四邊形PMON內接于某圓；②證明MN的長為定值，并求其定值；

（2）若直徑AB與CD相交成120°角．

① 當點P運動到的中點時（如圖二），求MN的長；

② 當點P（不與B、C重合）從B運動到C的過程中（如圖三），證明MN的長為定值．

（3）試問當直徑AB與CD相交角∠BOC=______度時，MN的長取最大值，其最大值為_____．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）①，②MN是定值；（3）當直徑AB與CD相交成90°角時，MN取得最大值2.

【解析】

（1）如圖一，易證∠PMO＋∠PNO＝180°，從而可得四邊形PMON內接于圓；②易證四邊形PMON是矩形，則有MN＝OP＝2，問題得以解決；

（2）①如圖二，根據等弧所對的圓心角相等可得∠COP1＝∠BOP1＝60°，根據圓內接四邊形的對角互補可得∠MP1N＝60°．根據角平分線的性質可得P1M＝P1N，從而得到△P1MN是等邊三角形，則有MN＝P1M．然后在Rt△P1MO中運用含30°直角三角形的性質即可解決問題；②設四邊形PMON的外接圓為⊙O′，連接NO′并延長，交⊙O′于點Q，連接QM，如圖三，根據圓周角定理可得∠QMN＝90°，∠MQN＝∠MPN＝60°，在Rt△QMN中運用含30°直角三角形的性質可得MQ=1，然后利用勾股定理即可解決問題；

（4）由MN是直徑為OP的圓內的一條弦，根據圓中最長的弦是直徑，進行分析解答即可．

解：（1）①如圖一，

∵PM⊥OC，PN⊥OB，

∴∠PMO=∠PNO=90°，

∴∠PMO+∠PNO=180°，

∴四邊形PMON內接于圓；

②如圖一，

∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，

∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，

∴四邊形PMON是矩形，

∴MN=OP=2，

∴MN的長為定值，該定值為2；

（2）①如圖二，

∵P1是的中點，∠BOC=120°

∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°．

∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，

∴P1M=P1N，∠MP1O=30°，

∴△P1MN是等邊三角形，

∴MN=P1M．

∵OM=P1O=1

∴P1M=，

∴MN=；

②設四邊形PMON的外接圓為⊙O′，連接NO′并延長，

交⊙O′于點Q，連接QM，如圖三，

則有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，

∴∠MNQ=30°，

在Rt△QMN中，MQ=NQ=1

∴MN=

∴MN是定值．

（3）由題意可知，MN是直徑為OP=2的圓內的一條弦，

∴MN的最大值為2，

∴當∠BOC=90°時，在矩形PMON中，MN=OP=2，

即當直徑AB與CD相交角∠BOC=90°時，MN的長取最大值，其最大值為2．