【題目】已知在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,以P(1,1)為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點M和點N,點F從點M出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動,連接PF,過點P作PE⊥PF交y軸于點E,設點F運動的時間是t秒(t>0)
(1)若點E在y軸的負半軸上(如圖所示),求證:PE=PF;
(2)在點F運動過程中,設OE=a,OF=b,試用含a的代數(shù)式表示b;
(3)作點F關于點M的對稱點F′,經(jīng)過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q,連接QE.在點F運動過程中,是否存在某一時刻,使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似?若存在,請直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)、證明過程見解析;(2)、b=2+a或b=2-a;(3)、t=,t=,t=2±
【解析】試題分析:(1)、連接PM、PN,根據(jù)切線的性質(zhì)得出PM=PN,根據(jù)就NPM=∠EPF=90°得出∠NPE=∠MPF,從而說明△PMF和△PNE全等,從而說明PE=PF;(2)、根據(jù)t>1和1<t≤1兩種情況求出a和b的關系;(3)、根據(jù)相似三角形的幾種不同的情況求出t的值.
試題解析:(1)、如圖,連接PM,PN,
∵⊙P與x軸,y軸分別相切于點M和點N, ∴PM⊥MF,PN⊥ON且PM=PN,
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°,∵PE⊥PF, ∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE,
在△PMF和△PNE中,∠NPE=∠MPF PN=PM ∠PNE=∠PMF ,∴△PMF≌△PNE(ASA) ∴PE=PF,
(2)、解:①當t>1時,點E在y軸的負半軸上,
由(1)得△PMF≌△PNE,∴NE=MF=t,PM=PN=1, ∴b=OF=OM+MF=1+t,a=NE﹣ON=t﹣1,
∴b﹣a=1+t﹣(t﹣1)=2,∴b=2+a,
②0<t≤1時,如圖2,點E在y軸的正半軸或原點上,
同理可證△PMF≌△PNE, ∴b=OF=OM+MF=1+t,a=ON﹣NE=1﹣t, ∴b+a=1+t+1﹣t=2, ∴b=2-a,
(3)、t=,t=,t=2±
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【題目】結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題:
(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是 ;表示﹣3和2兩點之間的距離是 ;一般地,數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于|m﹣n|.如果表示數(shù)a和﹣2的兩點之間的距離是3,那么a= ;
(2)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣4與2之間,求|a+4|+|a﹣2|的值;
(3)當a取何值時,|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小,最小值是多少?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知 Rt △ ACB 中, AC =3, BC =4,過直角頂點 C 作 CA 1 ⊥ AB ,垂足為 A 1 ,再過 A 1 作 A 1 C 1 ⊥ BC ,垂足為 C 1 ,…...,這樣一直作下去得到了一組線段 CA 1 , A 1 C 1 , C 1 A 2 ,…,則第10條線段 A 5 C 5 =________.
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【題目】在平行四邊形ABCD中,分別以AD、BC為邊向內(nèi)作等邊△ADE和等邊△BCF,連接BE、DF.求證:四邊形BEDF是平行四邊形.
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【題目】如圖,在對Rt△OAB依次進行位似、軸對稱和平移變換后得到△O′A′B′.
(1)在坐標紙上畫出這幾次變換相應的圖形;
(2)設P(x,y)為△OAB邊上任一點,依次寫出這幾次變換后點P對應點的坐標.
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【題目】如圖,等腰直角三角形OAB的三個定點分別為、、,過A作y軸的垂線.點C在x軸上以每秒的速度從原點出發(fā)向右運動,點D在上以每秒的速度同時從點A出發(fā)向右運動,當四邊形ABCD為平行四邊形時C、D同時停止運動,設運動時間為.當C、D停止運動時,將△OAB沿y軸向右翻折得到△,與CD相交于點E,P為x軸上另一動點.
(1)求直線AB的解析式,并求出t的值.
(2)當PE+PD取得最小值時,求的值.
(3)設P的運動速度為1,若P從B點出發(fā)向右運動,運動時間為,請用含的代數(shù)式表示△PAE的面積.
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【題目】直接填答案:
①(-5)+(-5)=______;②(-5)+(+8)=______;③90(-3)=______;
④(-5)-(-3)=______;⑤-16-8=_____;⑥8-16=______;
⑦=______;⑧=_____。
⑨ =_____;⑩=______。
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【題目】在邊長為1個單位長度的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標系,△ABC的頂點都在格點上,請解答下列問題:
(1)①作出△ABC向左平移4個單位長度后得到的△A1B1C1, 并寫出點C1的坐標;
②作出△ABC關于原點O對稱的△A2B2C2, 并寫出點C2的坐標;
(2)已知△ABC關于直線l對稱的△A3B3C3的頂點A3的坐標為(-4,-2),請直接寫出直線l的函數(shù)解析式.
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