Question

如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點D在邊AC上（不與A、C重合），DE與AB相交于點F．
（1）求證：△BCD∽△DAF；
（2）若BC=1，設(shè)CD=x，AF=y；
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；
②當x為何值時，？

Answer 1

解：（1）證明：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴∠A=∠C=∠BDE=60°，
∵∠ADF+∠BDE=∠C+∠DBC，
∴∠ADF=∠DBC，
∴△BCD∽△DAF．

（2）①解：∵△BCD∽△DAF，
∴，
∵BC=1，設(shè)CD=x，AF=y，
∴，
∴y=x-x²（0＜x＜1）．
②解：解法一：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴∠E=∠C=60°，∠EBD=∠CBA=60°，
∴∠EBF=∠CBD，
∴△EBF∽△CBD，
∴，
∴BE•BD=BF•BC
∵BE=BD，
∴BE²=BF•BC，
BC=1，
∴BE²=BF，
∵△EBF∽△CBD，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴當或時，．
解法二：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴∠E=∠C=60°，∠EBD=∠CBA=60°，
∴∠EBF=∠CBD，
∴△EBF∽△CBD，
∵，
∴，
∵BC=1，BE=BD，
∴．
過點B作BH⊥AC于點H，
∵∠C=60°，
∴，
∴，，
當點D在線段CH上時，；
當點D在線段CH的延長線上時，，
綜上所述，當或時，．
分析：（1）由△ABC與△BDE都是等邊三角形，可得∠A=∠C=∠BDE=60°，即可得∠ADF=∠DBC，根據(jù)有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似，可得△BCD∽△DAF；
（2）①根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得，代入數(shù)值，化簡即可得y=x-x²（0＜x＜1）；
②由有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似，可得△EBF∽△CBD，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例與相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得比例式，列方程即可求得．
點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定．解題時要注意相似三角形的對應(yīng)邊成比例，相似三角形的面積比等于相似比的平方，以及有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似．