Question

如圖，已知矩形ABCD，以A為圓心，AD為半徑的圓交AC、AB于M、E，CE的延長線交⊙A于F，CM=2，AB=4．
（1）求⊙A的半徑；
（2）如果點F沿著圓周運動，點E保持不變，F(xiàn)E與CD邊相交于點P，當∠FPD=72°時，求扇形EAF的面積．

Answer 1

分析：（1）△ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理和⊙A的半徑找出一個等量關(guān)系，列方程求得⊙A的半徑．
（2）根據(jù)矩形兩對邊平行可求出∠FEA的度數(shù)．而AF和AE都是⊙A的半徑，又可求出∠AFE的度數(shù)．根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°求出∠FAE的度數(shù)．然后用扇形的面積公式計算出扇形面積．

解答：解：（1）設(shè)⊙A的半徑為x，則AD=AM=BC=x．
△ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得AB²+BC²=AC²．
∵AB=4，AC=AM+CM=2+x
∴4²+x²=（x+2）²
 解得：x=3，
即⊙A的半徑為3；

（2）矩形ABCD中AB∥CD，所以∠FEA=∠FPD=72°，
 而AF和AE都是⊙A的半徑，所以∠AFE=∠FEA=72°．
 根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°求出∠FAE=180°-72°×2=36°，
 根據(jù)扇形的面積公式S=

nπR2

360

得到：
S=

36π×32

360

=

9

10

π．

點評：本題綜合考查有關(guān)矩形、直角三角形和扇形的相關(guān)計算．用到了矩形兩對邊平行，勾股定理，三角形內(nèi)角和是180°及扇形的面積公式．