Question

如圖，已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)AB是480毫米．一質(zhì)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向，以每秒鐘10毫米的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．
（1）建立合適的直角坐標(biāo)系，用運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）表示點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)D在三角形ABC的內(nèi)部作一個(gè)矩形DEFG，其中EF在BC邊上，G在AC邊上．在圖中找出點(diǎn)D，使矩形DEFG是正方形（要求所表達(dá)的方式能體現(xiàn)出找點(diǎn)D的過程）；
（3）過點(diǎn)D、B、C作平行四邊形，當(dāng)t為何值時(shí)，由點(diǎn)C、B、D、F組成的平行四邊形的面積等于三角形ADC的面積，并求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：運(yùn)用相似三角形及平行四邊形的性質(zhì)求解．

解答：解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，作DE⊥x軸于E，

則t秒后，DB=10t
又△ABC是正三角形，故∠B=60°
在Rt△DEB中，DE=DB×sin∠B=10t×

3

2

=5

3

t，
BE=DB×cos∠B=10t×

1

2

=5t
即：D(5t，5

3

t)；

（2）①先畫一個(gè)正方形，再利用位似圖形找出點(diǎn)D，具體作法閱圖

②利用正三角形與矩形是軸對(duì)稱圖形或利用相似三角形
的性質(zhì)求得DG=480-10t，DE=5

3

t．然后由480-10t=5

3

t
求出t=

96

2+ 3

=96（2-

3

）（毫米）．所以當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B的距離
等于10t=960（2-

3

）毫米時(shí)，矩形是正方形．

（3）如圖所示：

當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí)，這個(gè)平行四邊形是CBDF；
當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí)，這個(gè)平行四邊形是BCDF“；
當(dāng)點(diǎn)F在第三象限時(shí)，這個(gè)平行四邊形是CDBF'．
但平行四邊形BCDF“的面積、平行四邊形CDBF'的面積
都與平行四邊形CBDF的面積相等（等底等高）
平行四邊形CBDF的底BC=480，相應(yīng)的高是5

3

t，則面積是2400

3

t；三角形ADC的底AD=480-10t，相應(yīng)的高是240

3

則面積是120

3

（480-10t）．
由2400

3

t=120

3

（480-10t），解得t=16
所以當(dāng)t=16秒時(shí)，由點(diǎn)C、B、D、F組成的平
行四邊形的面積等于三角形ADC的面積．
∴此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)是F（560，80

3

），F(xiàn)′（400，-80

3

）
F″（-400，80

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)相似三角形的運(yùn)用能力和平行四邊形的性質(zhì)掌握程度．