Question

【題目】如圖，在矩形中，，點是的中點，點為對角線上的動點，設(shè)，作于點，連結(jié)并延長至點，使得，作點關(guān)于的對稱點，交于點，連結(jié)．

（1）求證：；

（2）當點運動到對角線的中點時，求的周長；

（3）在點的運動的過程中，是否可以為等腰三角形？若可以，求出的值；若不可以，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）可以，的值為2或或

【解析】

（1）根據(jù)三角形中位線定理即可判定；

（2）證明△BCD∽△FGE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊長的比等于對應(yīng)周長的比，可得△EFG的周長；

（3）分EH=EG，EG=GH，EH=EG三種情況討論，根據(jù)，列方程求解即可．

（1）證明：∵點與點關(guān)于對稱，

∴，

∵，

∴是的中位線，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∴，

當為的中點時，即，

∴，此時點與點重合，如圖2，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴的周長，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

∴的周長為；

（3）解：在中，，，

∴，則，

∵是的中點，

∴，

在點的運動過程中，可以為等腰三角形，有以下三種情況：

①當時，如圖3，

在中，，

∴，

∴，

∴，

由（1）知：，

∴，

在中，，

即，

解得；

②當時，如圖4，過點作于點，

∴，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在中，，

即，

解得；

③當時，如圖5，延長交于，

∵，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

在中，，

，

∴，

綜上，的值為2或或時，為等腰三角形．