【題目】如圖,四邊形ABCD中AB∥CD,對角線AC,BD相交于O,點E,F(xiàn)分別為BD上兩點,且BE=DF,∠AEF=∠CFB.

(1)求證:四邊形ABCD是平行四邊形;

(2)若AC=2OE,試判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.

【答案】(1)(2)見解析

【解析】試題分析:(1)已知ABCD,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等可得ABD=CDB,AEF=CFB根據(jù)平角的定義可得AEB=CFD,利用ASA證得ABE≌△CDF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB=CD,ABCD根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得四邊形ABCD是平行四邊形;(2)平行四邊形AECF是矩形根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OB=OD ,OA=OC=ACBE=DF證得OE=OF,根據(jù)對角線互相平分的四邊形為平行四邊形可判定四邊形AECF是平行四邊形,再證得AC=EF根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可判定平行四邊形AECF是矩形.

試題解析:

(1)證明:∵AB∥CD,

∴∠ABD=∠CDB

又∵∠AEF=∠CFB,

∴∠AEB=∠CFD,

又∵BE=DF,

∴△ABE≌△CDF(ASA),

∴AB=CD,

又∵AB∥CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形;

(2) 平行四邊形AECF是矩形,理由如下:

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

OB=OD ,OA=OC=AC

∵BE=DF,

∴OB﹣BE=DO﹣DF,

∴OE=OF

又∵OA=OC,

∴四邊形AECF是平行四邊形,

又∵AC=2OE,EF=2OE,

∴AC=EF

∴平行四邊形AECF是矩形.

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