Question

如圖，已知直線l和點A、B，在直線l上找一點P，使△PAB的周長最小，請說明理由．

Answer 1

解：作法：
（1）作A關于l的對稱點A′，

（2）連接A′B交l于點P．
則點P就是所要求作的點．
理由：在l上取不同于P的點P′，連接AP′、BP′．
∵A和A′關于直線l對稱，
∴PA=PA′，P′A=P′A′，
而A′P+BP＜A′P′+BP′
∴PA+BP＜AP′+BP′
∴AB+AP+BP＜AB+AP′+BP′
即△ABP周長小于△ABP′周長．
分析：由于△PAB的周長=PA+AB+PB，而AB是定值，故只需在直線l上找一點P，使PA+PB最小．如果設A關于l的對稱點為A′，使PA+PB最小就是使PA′+PB最小．
點評：解這類問題的關鍵是把兩條線段的和轉化為一條線段，運用三角形三邊關系解決．