【題目】如圖,直線y=kx+8(k<0)交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B.將△AOB關(guān)于直線AB翻折得到△APB.過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交線段BP于點(diǎn)C,在AC上取點(diǎn)D,且點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè),連結(jié)BD.
(1)求證:AC=BC
(2)若AC=10.
①求直線AB的表達(dá)式.
②若△BCD是以BC為腰的等腰三角形,求AD的長(zhǎng).
(3)若BD平分∠OBP的外角,記△APC面積為S1,△BCD面積為S2,且=,則的值為______(直接寫(xiě)出答案)
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)①y=-x+8;②20或22;(3).
【解析】
(1)由平行線的性質(zhì)可得出∠BAC=∠ABO,由折疊的性質(zhì)可知∠ABO=∠ABC,進(jìn)而可得出∠BAC=∠ABC,由等角對(duì)等邊即可證出AC=BC;
(2)過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E.①利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出OA的長(zhǎng)度,進(jìn)而可得出BE的長(zhǎng)度,在Rt△BCE中,利用勾股定理可求出CE的長(zhǎng)度,進(jìn)而可得出OB,AE的長(zhǎng)度,由OB的長(zhǎng)度可得出點(diǎn)B的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的表達(dá)式;
②分BC=DC及BC=BD兩種情況考慮:當(dāng)BC=DC時(shí),由AC=BC=10,可求出AD的長(zhǎng)度;當(dāng)BC=BD時(shí),利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合①的結(jié)論可求出CD的長(zhǎng)度,進(jìn)而可得出AD的長(zhǎng)度.綜上,此問(wèn)得解;
(3)由折疊的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式可得出,設(shè)PC=2a,則CD=3a,易證△APC≌△BEC(AAS),由全等三角形的性質(zhì)可得出CE=CP=2a,由角平分線的定義、平行線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得出CB=CD=AC=3a,在Rt△BCE中,CE=2a,進(jìn)而可得出OB=5a,AD=6a,二者相比后即可得出的值.
(1)證明:∵AC∥x軸,
∴∠BAC=∠ABO.
由折疊的性質(zhì),可知:∠ABO=∠ABC,
∴∠BAC=∠ABC,
∴AC=BC.
(2)解:過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E,如圖1所示.
①當(dāng)x=0時(shí),y=kx+8=8,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),BE=OA=8.
在Rt△BCE中,BC=AC=10,BE=8,
∴CE==6,
∴OB=AE=AC+CE=16,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(16,0).
將點(diǎn)B(16,0)代入y=kx+8,得:0=16k+8,
解得:k=-,
∴直線AB的表達(dá)式為y=-x+8.
②當(dāng)BC=DC時(shí),AD=AC+CD=10+10=20;
當(dāng)BC=BD時(shí),由①可知:CD=2CE=12,
∴AD=AC+CD=10+12=22.
綜上:AD的長(zhǎng)為20或22.
(3)由折疊的性質(zhì),可知:AO=AP,∠APC=∠AOB=90°.
∵S△APC=APPC=AOPC,S△BCD=CDAO,OA=BE,
∴=,
設(shè)PC=2a,則CD=3a.
在△APC和△BEC中,
,
∴△APC≌△BEC(AAS),
∴PC=EC.
∵BD平分∠OBP的外角,CD∥x軸,
∴∠CBD=∠CDB,
∴CD=CB=3a.
在Rt△BCE中,CB=3a,CE=2a,
∴BE==a,
∴OB=AC+CE=CD+CE=5a,AD=AC+CD=2CD=6a,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),且EG、FH交于點(diǎn)O.若AC=4,則EG2+FH2=______.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)G,點(diǎn)F是CD上一點(diǎn),且滿(mǎn)足,連接AF并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E,連接AD,DE,若CF=2,AF=3,給出下列結(jié)論:①△ADF∽△AED;②FG=2;③tanE=;④S△DEF=4.其中正確的是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
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【題目】如圖是小章為學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)文化節(jié)沒(méi)計(jì)的標(biāo)志,在△ABC中,∠ACB=90°,以△ABC的各邊為邊作三個(gè)正方形,點(diǎn)G落在HI上,若AC+BC=6,空自部分面積為10.5,則陰影部分面積為______.
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【題目】如圖,△ABC在方格紙中
(1)請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系,使A(2,3),C(6,2),并求出B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為2,在第一象限內(nèi)將△ABC放大,畫(huà)出放大后的圖形△A′B′C′;
(3)計(jì)算△A′B′C′的面積S.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā),沿B→C方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C(D不與B,C重合),連接AD,作∠ADE=30°,DE交線段AC于點(diǎn)E.設(shè)∠B4D=x°,∠AED=y°.
(1)當(dāng)BD=AD時(shí),求∠DAE的度數(shù);
(2)求y與x的關(guān)系式;
(3)當(dāng)BD=CE時(shí),求x的值.
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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上.將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△AB′C′.
(1)在正方形網(wǎng)格中,畫(huà)出△AB′C′;
(2)計(jì)算線段AB在變換到AB′的過(guò)程中掃過(guò)的區(qū)域的面積.
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【題目】某地要建一個(gè)圓形噴水池,在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA,O恰在水面中心,安裝在柱子頂端A處的噴頭向外噴水,水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下.如圖建立平面直角坐標(biāo)系,已知A(),頂點(diǎn)P()
(1) 求拋物線的解析式
(2) 若不計(jì)其他因素,水池的半徑至少要多少米,才能使噴出的水流不至于落在池外
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【題目】某校對(duì)八年級(jí)學(xué)生上學(xué)的4種方式:騎車(chē)、步行、乘車(chē)、接送,進(jìn)行抽樣調(diào)查,結(jié)果如圖(1)、圖(2).
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(2)請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,你估計(jì)該校八年級(jí)500名學(xué)生中,大約有多少名學(xué)生是由家長(zhǎng)接送上學(xué)的?
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