Question

【題目】問題發(fā)現(xiàn)

（1）如圖①，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是邊上一點(diǎn)且平分的面積，則線段的長(zhǎng)度為____；

問題探究

（2）如圖②，中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若平分的面積，且最短，請(qǐng)你畫出符合要求的線段，并求出此時(shí)與的長(zhǎng)度．

問題解決

（3）如圖③，某公園的一塊空地由三條道路圍成，即線段，已知米，米，的圓心在邊上，現(xiàn)規(guī)劃在空地上種植草坪，并的中點(diǎn)修一條直路(點(diǎn)在 上)．請(qǐng)問是否存在，使得平分該空地的面積?若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）MN=3，AM=2.5，作圖見詳解；（3）存在，使得平分該空地的面積，AM= 146（米）．

【解析】

（1）作CD⊥AB于點(diǎn)D，利用等邊三角形三線合一的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求出AD的長(zhǎng)，即可；
（2）經(jīng)過平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)的直線將平行四邊形的面積分成相等的兩部分，當(dāng)MN⊥BC時(shí)，MN最短，過A作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)三角函數(shù)的定義，求AE的長(zhǎng)，即是MN的長(zhǎng)，再求出EN的長(zhǎng)，即AM的長(zhǎng)；

（3）作AC的垂直平分線EF交AB于點(diǎn)O，交AC于點(diǎn)D，則點(diǎn)O為所在圓的圓心，通過銳角三角函數(shù)的定義，求得OD的值，從而得，，在線段OB上取點(diǎn)M，連接PM，使OPM的面積=1050，進(jìn)而求出OM，即可求出AM的值，然后得到結(jié)論．

（1）如圖①，作CD⊥AB于點(diǎn)D，

∵為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，

∴AD=BD，

∴平分的面積，

∴CD=AC=×2=，

故答案是：；

（2）連接AC、BD交于點(diǎn)O，

過點(diǎn)O作直線MN，交AD于M，交BC于N，如圖②，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴OA=OC，AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，

∵∠AOM=∠CON，

∴△AOM≌△CON（ASA），

∴S△AOM=S△CON，

同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD，

∴S△OMD=S△ONB，S△AOB=S△COD，

∴S△AOM+S△AOB+S△BON=S△CON+S△COD+S△OMD，

即：MN將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，

當(dāng)MN⊥BC時(shí)，MN最短，如圖③所示，

過A作AE⊥BC于點(diǎn)E，

在Rt△ABE中，

∵∠ABC=60°，

∴sin60span>°=，

∴AE=×6=3，

∵AD∥BC，AE⊥BC，MN⊥BC，

∴MN=AE=3，

∴此時(shí)MN的長(zhǎng)度為3，

∵AE∥MN，AO=CO，

∴EN=CN，

∵BE=AB=3，

∴CE=BC-BE=8-3=5，

∴EN=2.5，

∵AD∥BC，AE⊥BC，MN⊥BC，

∴四邊形AENM是矩形，即：AM=EN=2.5；

（3）存在，使得平分該空地的面積，理由如下：

作AC的垂直平分線EF交AB于點(diǎn)O，交AC于點(diǎn)D，則點(diǎn)O為所在圓的圓心，如圖④，

∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)P在直線EF上，

∵（米），（米），，

∴AC==200（米），AD=AC=100（米），

∵tan∠BAC=，

∴OD=AD=75（米），

∴（平方米），

∵（平方米），

∴（平方米），

∴圖形OBCP的面積比圖形AOP的面積多2100平方米，

∴在線段OB上取點(diǎn)M，連接PM，使OPM的面積=1050（平方米），即可．

∵sin∠BAC=，

∴OA=OD=×75=125（米），

∴OP=OA=125（米），

過點(diǎn)M作MN⊥EF于點(diǎn)N，

∴OPMN=1050，即：MN=2100÷125=（米），

∵MN∥AC，

∴AOD~MON，

∴，即：，解得：MO=21（米），

∴AM=AO+MO=125+21=146（米），

∵AM＜AB，

∴存在，使得平分該空地的面積，此時(shí)，AM= 146（米）．