Question

（2011四川瀘州，26，7分）如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)．
（1）求∠BPC的度數(shù)；
（2）求證：PA=PB+PC；
（3）設(shè)PA，BC交于點(diǎn)M，若AB=4，PC=2，求CM的長度．

Answer 1

解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，
∵點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)，∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，
（2）在PA上截取PD=PC，
∵AB=AC=BC，∴∠APB=∠APC=60°，∴△PCD為等邊三角形，∴∠ADC=120°，
∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，∴PA=PB+PC；
（3）∵△CDM∽△ACM，∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2，
設(shè)DM=x，則CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，∵△BPM∽△ACM，∴BP：AC=PM：CM，
即3x：4=（2-x）：2x，解得，x=（舍去負(fù)號），則x=，∴CM= ．

略