先閱讀下面材料,再回答問題.
一般地,如果函數(shù)y的自變量x在a<x<b范圍內(nèi),對于任意x1,x2,當(dāng)a<x1<x2<b時,總是有y1<y2(yn是與xn對應(yīng)的函數(shù)值),那么就說函數(shù)y在a<x<b范圍內(nèi)是增函數(shù).
例如:函數(shù)y=x2在正實數(shù)范圍內(nèi)是增函數(shù).
證明:在正實數(shù)范圍內(nèi)任取x1,x2,若x1<x2,
則y1-y2=x12-x22=( x1-x2)( x1+x2
因為x1>0,x2>0,x1<x2
所以x1+x2>0,x1-x2<0,( x1-x2)( x1+x2)<0
即y1-y2<0,亦即y1<y2,也就是當(dāng)x1<x2時,y1<y2
所以函數(shù)y=x2在正實數(shù)范圍內(nèi)是增函數(shù).
問題:
(1)下列函數(shù)中.①y=-2x(x為全體實數(shù));②數(shù)學(xué)公式(x>0);③數(shù)學(xué)公式(x>0);在給定自變量x的取值范圍內(nèi),是增函數(shù)的有______.
(2)對于函數(shù)y=x2-2x+1,當(dāng)自變量x______時,函數(shù)值y隨x的增大而增大.
(3)說明函數(shù)y=-x2+4x,當(dāng)x<2時是增函數(shù).

解:(1)①y=-2x,
∵k=-2<0,
∴x在全體實數(shù)范圍內(nèi)y隨x的增大而減。
(x>0),
∵k=-2<0,
∴x>0時,y隨x的增大而增大;
(x>0),
∵k=1>0,
∴x>0時,y隨x的增大而減小,
綜上所述,增函數(shù)只有②;

(2)二次函數(shù)y=x2-2x+1的對稱軸為x=-=-=1,
∵二次函數(shù)開口向上,
∴自變量x>1時,函數(shù)值y隨x的增大而增大;

(3)證明:設(shè)x1<x2<2,
則y1-y2=(-x12+4x1)-(-x22+4x2),
=-x12+x22+4x1-4x2,
=-(x1-x2)(x1+x2)+4(x1-x2),
=(x1-x2)(4-x1-x2),
∵x1<x2<2,
∴-x1>-x2>-2,x1-x2<0,
∴4-x1-x2>0,
∴(x1-x2)(4-x1-x2)<0,
即y1-y2<0,
亦即y1<y2,
也就是當(dāng)x1<x2<2時,y1<y2
所以函數(shù)y=x2在正實數(shù)范圍內(nèi)是增函數(shù).
分析:(1)根據(jù)正比例函數(shù)的增減性,反比例函數(shù)的增減性分別進(jìn)行判斷即可得解;
(2)先求出二次函數(shù)的對稱軸解析式,再根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答;
(3)根據(jù)題目信息,按照增函數(shù)的證明方法進(jìn)行證明即可.
點評:本題考查了正比例函數(shù)的增減性,反比例函數(shù)的增減性,二次函數(shù)的增減性以及增函數(shù)的定義,讀懂題目信息,弄明白增函數(shù)的證明過程,問題便不難解決.
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