【題目】如圖,已知點E是ABCD中BC邊的中點,若∠ABE=∠BAE=60°,BC=4,連接AE并延長交DC的延長線于點F.
(1)連接AC,BF,求證:四邊形ABFC為矩形;
(2)求四邊形ABFC的周長和面積.

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形,

∴AB∥DC.

∴∠ABE=∠ECF.

又∵點E為BC的中點,∴BE=CE.

在△ABE和△FCE中,

∴△ABE≌△FCE(ASA).

∴AB=CF.

又AB∥CF,

∴四邊形ABFC為平行四邊形.

∴AE=EF.

∵∠ABE=∠BAE=60°,

∴AE=BE,即AF=BC

∴四邊形ABFC為矩形


(2)解:∵在矩形ABFC中,∠ABE=∠BAE=60°,BC=4

∴△ABE是等邊三角形,

∴AB=BE=2.

∴AC= =2

∴四邊形ABFC的周長=2(AB+AC)=2(2+2)=4+4.

S四邊形ABFC=2 ×2=4


【解析】(1)利用ASA可得出三角形ABE與三角形FCE全等;進而得出AB=FC,即可得出四邊形ABFC是平行四邊形,再由直角三角形的判定方法得出△BFC是直角三角形,即可得出平行四邊形ABFC是矩形.(2)由等邊三角形的性質得出∠AFC=60°,AF=DF=4,得出CF=CD=2,由矩形的性質得出∠ACF=90°,得出AC= CF=2 ,即可得出四邊形ABFC的面積=ACCF=4
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識,掌握平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分.

練習冊系列答案
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