Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=8，CB=6，動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)沿CA方向，以每秒1個(gè)單位長度的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立即以原來速度沿AC返回；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q到達(dá)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥CB？

（2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中，在CB上是否存在點(diǎn)E使△CEP與△PQA全等？若存在，求出CE的長；若不存在，請說明理由；

（3）伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點(diǎn)D，交折線QB﹣BC﹣CP于點(diǎn)F．當(dāng)DF經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）5和10.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠PQA=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PE，根據(jù)勾股定理計(jì)算；

（3）分P由C向A運(yùn)動(dòng)和P由A向C運(yùn)動(dòng)兩種情況，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)計(jì)算．

解：（1）如圖1，

CP=AQ=t，則AP=8－t，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=10，

由PQ∥CB可得，即，

解得t=，所以當(dāng)t=時(shí)，PQ∥CB .

（2）存在，如圖2，

由題意可知CP=AQ=t，又∵∠PCE =90°，要使△CEP與△PQA全等，

只有∠PQA=90°，

這一種情況，此時(shí)CE=PQ，PE= AP，由△PQA∽△BCA可得，

即，解得t=，

則PE=8－t=，在Rt△PCE中，由勾股定理可得CE=；

(或由△PCE∽△ACB得，即，解得CE=）

（3）①當(dāng)P由C向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，CQ=CP=AQ=t，可得∠QCA=∠QAC，

所以∠QCB=∠QBC，所以CQ=BQ=t，所以BQ=AQ=AB，

即AB=2t，解得t=5；

②如圖3，

當(dāng)P由A向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，過Q作QG⊥CB交CB于點(diǎn)G，

CQ=CP=16－t，BQ=10－t，則，即，所以GQ=（10－t），

同理可求得BG=（10－t），所以GC=6－（10－t），

在Rt△CGQ中，由勾股定理可得：CG2+GQ2=CQ2，

即[6﹣（10－t）]2+[（10－t）]2=（16－t）2，解得t=10.

綜上可知滿足條件的t的值為5和10．