Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C，該拋物線的頂點為點D．

（1）求該拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）連接AC，CD，BD，BC，設△AOC、△BOC、△BCD的面積分別為S1，S2和S3，求證：S3=；

（3）點M是線段AB上一動點（不包括點A和點B），過點M作MN∥BC交AC于點N，連接MC，是否存在點M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出點M的坐標和此時直線MN的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；點D的坐標為（1，﹣4）；（2）證明見解析；（3）存在點M使∠AMN=∠ACM．點M的坐標為（，0），直線MN的解析式為y=x﹣．

【解析】試題分析：（1）直接利用交點式寫出拋物線的解析式，然后把解析式配成頂點式得到點D的坐標；

（2）如圖，先確定C（0，﹣3），再利用兩點間的距離公式計算出BC、CD、BD的長，利用勾股定理的逆定理證明△BCD為直角三角形，∠BCD=90°，然后根據三角形面積公式分別計算出S1，S2和S3，從而得到結論；

（3）設點M的坐標為（m，0）（﹣1＜m＜3），則MA=m+1，AC=，利用MN∥BC得到AM：AB=AN：AC，利用比例性質得AN=（m+1），再證明△AMN∽△ACM，利用相似比得到（m+1）2=（m+1），則解方程可得到m的值，從而得到M點的坐標，然后利用待定系數法求出BC的解析式，最后利用MN∥BC可求出直線MN的解析式．

試題解析：（1）拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣3），即y=x2﹣2x﹣3；

∵y=（x﹣1）2﹣4，

∴點D的坐標為（1，﹣4）；

（2）如圖，當x=0時，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，則C（0，﹣3），而A（﹣1，0），B（3，0），

∴CD==，BC==3，BD==2，

∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD為直角三角形，∠BCD=90°，

∴S3=CDBC=× ×3 =3，

∵S1=OAOC=×1×3=，S2=OCOB=×3×3=，

∴S3= ；

（3）存在點M使∠AMN=∠ACM．

設點M的坐標為（m，0）（﹣1＜m＜3），則MA=m+1，AC==，

∵MN∥BC，

∴AM：AB=AN：AC，即（m+1）：AN=4： ，解得AN=（m+1），

∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，

∴△AMN∽△ACM，

∴AM：AC=AN：AM，即（m+1）2= （m+1），

解得m1=﹣1（舍去），m2=，

∴點M的坐標為（，0），

設直線BC的解析式為y=kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得 ，解得 ，

∴BC的解析式為y=x﹣3，

又∵MN∥BC，

∴設直線MN的解析式為y=x+n，

把點M的坐標為（，0）代入得n=﹣，

∴直線MN的解析式為y=x﹣．