Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（經(jīng)過原點(diǎn)）與x軸相交于N點(diǎn)，直線y=kx+4與坐標(biāo)軸分別相交于A、D兩點(diǎn)，與拋物線相交于B（1，m）和C（2，2）兩點(diǎn)．
（1）求直線與拋物線的表達(dá)式；
（2）求證：C點(diǎn)是△AOD的外心；
（3）若（1）中的拋物線，在x軸上方的部分，有一動(dòng)點(diǎn)P（x，y），設(shè)∠PON=α．當(dāng)sinα為何值時(shí)，△PON的面積有最大值？
（4）若P點(diǎn)保持（3）中運(yùn)動(dòng)路線，是否存在△PON，使得其面積等于△OCN面積的

9

16

？若存在，求出動(dòng)點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說出理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)，可得其表達(dá)式可以寫成y=ax²+bx，又由直線y=kx+4與拋物線相交于B、C兩點(diǎn)，把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=kx+4，利用待定系數(shù)法即可求得直線的表達(dá)式與點(diǎn)B與C的坐標(biāo)，繼而求得拋物線的表達(dá)式；
（2）由（1）中直線的解析式，求得A與D的坐標(biāo)，可得AC=CD=OC=

1

2

AD，即可得C點(diǎn)是△AOD的外心；
（3）通過分析可得P為頂點(diǎn)時(shí)，S_△OPN面積最大．求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，即可求得sinα的值；
（4）首先過點(diǎn)P作PE⊥x軸于N點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-2x²+5x），即可表示出△PON的面積，然后求得△OCN的面積，由△PON的面積等于△OCN面積的

9

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，即可得方程，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)，
∴其表達(dá)式可以寫成y=ax²+bx．
∵直線y=kx+4與拋物線相交于B、C兩點(diǎn)，把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=kx+4，得：

2=2k+4 m=k+4

，
解得：

k=-1 m=3

，
∴直線是：y=-x+4，
點(diǎn)B（1，3），C（2，2）代入二次函數(shù)的表達(dá)式，得：

3=a+b 2=4a+2b

，
解得：

a=-2 b=5

，
∴拋物線的表達(dá)式為：y=-2x²+5x．

（2）∵y=-x+4，令x=0，y=4；
令y=0，x=4，
∴A（0，4），D（4，0）．
∴AD=

42+42

=4

2

．而OC=2

2

，
∴OC=

1

2

AD．
∴C是Rt△AOD的外心．

（3）通過分析知道，P為頂點(diǎn)時(shí)，S_△OPN面積最大．
此時(shí)，P（

5

4

，

25

8

），
又∵方程-2x²+5x=0的兩根是x₁=0，x₂=

5

2

，即ON=

5

2

．
∴OP=

( 5 4 )2+( 25 8 )2

=

5 29

8

．
∴sinα=

25 8

5 29 8

=

25

8

×

8

5 29

=

5

29

29

，此時(shí)△PON有最大面積（底是相同的）．

（4）存在．
理由：過點(diǎn)P作PE⊥x軸于N點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-2x²+5x），
∴S_△OCN=

1

2

ON•PD=

1

2

×

5

2

×（-2x²+5x）=

5

4

（-2x²+5x），
∵S_△OCN=ON×2×

1

2

=ON=

5

2

，
又∵△PON的面積等于△OCN面積的

9

16

，
∴

5

4

（-2x²+5x）=

5

2

×

9

16

，
解得：x₁=

1

4

，x₂=

9

4

，
∴當(dāng)x=

1

4

時(shí)，y=

9

8

，
當(dāng)x=

9

4

時(shí)，y=

9

8

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

4

，

9

8

）或（

9

4

，

9

8

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，圓的外心的定義，三角函數(shù)以及三角形面積的求解方法等知識(shí)．注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．