Question

（2006•昆明）如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形OABC的邊OA在x軸上，∠B=60°，OA=6，OC=4，D是BC的中點(diǎn)，延長AD交OC的延長線于點(diǎn)E．
（1）畫出△ECD關(guān)于邊CD所在直線為對稱軸的對稱圖形△E₁CD，并求出點(diǎn)E₁的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過C、E₁、B三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）請?zhí)角蠼?jīng)過C、E₁、B三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△ECD相似？若存在這樣的點(diǎn)P，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在這樣的點(diǎn)P，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲畫△ECD關(guān)于邊CD所在直線為對稱軸的對稱圖形△E₁CD，由CD不變，知關(guān)鍵是確定E₁點(diǎn)，可過點(diǎn)E作對稱軸CD的垂線，垂足為F，延長EF到E₁，使E₁F=EF．則點(diǎn)E₁就是點(diǎn)E關(guān)于CD所在直線的對稱點(diǎn)；
（2）由（1）求得E₁坐標(biāo)，再求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，可通過待定系數(shù)法，利用已知條件求解；
（3）問題較難，根據(jù)兩個(gè)三角形相似的條件，需要分情況討論P(yáng)在不同位置時(shí)的情況．
解答：解：（1）過點(diǎn)E作EE₁⊥CD交BC于F點(diǎn)，交x軸于E₁點(diǎn)，
則E₁點(diǎn)為E的對稱點(diǎn)．連接DE₁、CE₁，則△CE₁D為所畫的三角形，
∵△CED∽△OEA，，∴，
∵EF、EE₁分別是△CED、△OEA的對應(yīng)高，
∴=，
∴EF=EE₁，
∴F是EE₁的中點(diǎn)，
∴E點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)是E₁點(diǎn)，△CE₁D為△CED關(guān)于CD的對稱圖形，
在Rt△EOE₁，OE₁=cos60°×EO=×8=4，
∴E₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）；

（2）∵平行四邊形OABC的高為h=sin60°×4=2，
過C作CG⊥OA于G，則OG=2，
∴C、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，2），（8，2），
∵拋物線過C、B兩點(diǎn)，且CB∥x軸，C、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴拋物線的對稱軸方程為x=5，
又∵拋物線經(jīng)過E₁（4，0），
則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（6，0），
∴可設(shè)拋物線為y=a（x-4）（x-6），
∵點(diǎn)C（2，2）在拋物線上，
∴2=a（2-4）（2-6），
解得a=，
∴y=（x-4）（x-6）=x²-x+6；

（3）根據(jù)兩個(gè)三角形相似的條件，由于在△ECD中，∠ECD=60°，
若△BCP與△ECD相似，則△BCP中必有一個(gè)角為60°，
下面進(jìn)行分類討論：
①當(dāng)P點(diǎn)直線CB的上方時(shí)，由于△PCB中，∠CBP＞90°或∠BCP＞90°，
∴△PCB為鈍角三角形，
又∵△ECD為銳角三角形，
∴△ECD與△CPB不相似．
從而知在直線CB上方的拋物線上不存在點(diǎn)P使△CPB與△ECD相似；
②當(dāng)P點(diǎn)在直線CB上時(shí)，點(diǎn)P與C點(diǎn)或B點(diǎn)重合，不能構(gòu)成三角形，
∴在直線CB上不存在滿足條件的P點(diǎn)；
③當(dāng)P點(diǎn)在直線CB的下方時(shí)，若∠BCP=60°，則P點(diǎn)與E₁點(diǎn)重合，
此時(shí)，∠ECD=∠BCE₁，而，
∴，
∴△BCE與△ECD不相似，
若∠CBP=60°，則P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，
根據(jù)拋物線的對稱性，同理可證△BCA與△CED不相似，
若∠CPB=60°，假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P使△CPB與△ECD相似，
∴EF=sin60°×4=2，F(xiàn)D=1，
∴ED==，
設(shè)△ECD的邊DE上的高為h₁，則有h₁×ED=EF×CD，
∴h₁=EF×CD÷ED=2×3÷=6÷=，
設(shè)△CPB的邊BC上的高為h₂，△CPB與△ECD相似，
∵，
解得h₂=×h₁=×=，
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，-），
∴拋物線的頂點(diǎn)到直線BC的距離d=|-|+2=，
∵h(yuǎn)₂＞d，
∴所求P點(diǎn)到直線BC的距離大于拋物線的頂點(diǎn)到直線BC的距離，
從而使△CPB與△ECD相似的點(diǎn)P不會(huì)在拋物線上，
∴在直線CB下方不存在拋物線上的點(diǎn)P使△CPB與△ECD相似．
綜上所述，拋物線上不存在點(diǎn)P使點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△ECD相似．
點(diǎn)評：（1）考查的是作簡單平面圖形軸對稱后的圖形，其依據(jù)是軸對稱的性質(zhì)．
基本作法：①先確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；
②利用軸對稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對稱點(diǎn)；
③按原圖形中的方式順次連接對稱點(diǎn)．
（2）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式時(shí)要靈活地根據(jù)已知條件選擇配方法和公式法．
（3）是一道難度較大的二次函數(shù)題，綜合考查了三角形相似的性質(zhì)，需注意分類討論，全面考慮點(diǎn)P所在位置的各種情況．