【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(3,0),與y軸交于C(0,3),拋物線頂點為D點.
(1)求此拋物線解析式;
(2)如圖1,點P為拋物線上的一個動點,且在對稱軸右側,若△ADP面積為3,求點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,PA交對稱軸于點E,如圖2,過E點的任一條直線與拋物線交于M,N兩點,直線MD交直線y=﹣3于點F,連結NF,求證:NF∥y軸.
【答案】(1)拋物線解析式為:y=x2﹣4x+3;(2)P(4,3);(3)證明見解析.
【解析】
(1)利用待定系數法確定函數關系式;
(2)利用待定系數法求得直線AD的解析式,根據函數圖象上點的坐標特征可以設P(t,t2-4t+3),R(t,-t+1).如圖1,過點P作PR∥y交AD的延長線于R,由此得到S△ADP=S△APR-S△PDR=PR(t-1)-PR(t-2)=3,PR=6,所以利用關于t的方程求得點P的坐標;
(3)欲證明NF∥y軸,只需求得點N、F的橫坐標相等即可.
(1)把A(1,0),B(3,0),C(0,3)分別代入y=ax2+bx+c,得
,
解得,
所以,該拋物線解析式為:y=x2﹣4x+3;
(2)由(1)知,該拋物線解析式為:y=x2﹣4x+3,
∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴頂點D的坐標是(2,﹣1).
如圖1,過點P作PR∥y交AD的延長線于R,
由A(1,0),D(2,﹣1)易得直線AD的解析式為:y=﹣x+1.
設P(t,t2﹣4t+3),R(t,﹣t+1).
∴PR=t2﹣3t+2.
∵△ADP面積為3,
∴S△ADP=S△APR﹣S△PDR=PR(t﹣1)﹣PR(t﹣2)=3,
∴PR=6,即t2﹣3t+2=6,
解得t1=4,t2=0(舍去).
此時t2﹣4t+3=42﹣4×4+3=3,
∴P(4,3);
(3)證明:∵P(4,3),A(1,0),
∴直線AP為y=x﹣1,
把x=2代入,y=1,
故E(2,1).
設直線MN的解析式為:y=kx﹣2k+1.
聯(lián)立方程組,得,
消去y,得x2﹣(4+k)x+2+2k=0,
解得x1=,x2=,
∴M(,),xN=.
∴直線MN的解析式為y=(x﹣2)﹣1.
令y=﹣3,得xF=,
即:xN=xF,
∴NF∥y軸.
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【題目】為了更好地保護美麗如畫的邛海濕地,西昌市污水處理廠決定先購買A,B兩種型號的污水處理設備共20臺,對邛海濕地周邊污水進行處理.每臺A型污水處理設備12萬元,每臺B型污水處理設備10萬元.已知1臺A型污水處理設備和2臺B型污水處理設備每周可以處理污水640 t,2臺A型污水處理設備和3臺B型污水處理設備每周可以處理污水1 080 t.
(1)求A,B兩種型號的污水處理設備每周每臺分別可以處理污水多少噸.
(2)經預算,市污水處理廠購買設備的資金不超過230萬元,每周處理污水的量不低于4 500 t,請你列舉出所有購買方案,并指出哪種方案所需資金最少,最少是多少.
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【題目】一個盒子里有標號分別為1,2,3,4的四個球,這些球除標號數字外都相同.
(1)從盒中隨機摸出一個小球,求摸到標號數字為奇數的球的概率;
(2)甲、乙兩人用這四個小球玩摸球游戲,規(guī)則是:甲從盒中隨機摸出一個小球,記下標號數字后放回盒里,充分搖勻后,乙再從盒中隨機摸出一個小球,并記下標號數字.若兩次摸到球的標號數字同為奇數或同為偶數,則判甲贏;若兩次摸到球的標號數字為一奇一偶,則判乙贏.請用列表法或畫樹狀圖的方法說明這個游戲對甲、乙兩人是否公平.
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【題目】如圖1,平行四邊形在平面直角坐標系中,其中點的坐標分別是,,點在軸正半軸上,點為的中點,點在軸正半軸上,
(1)點的坐標為______,點的坐標為_______.
(2)求點的坐標.
(3)如圖2,根據(2)中結論,將順時針旋轉至,求的長度.
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【題目】已知△ABC是等邊三角形,將一塊含有30°角的直角三角尺DEF按如圖所示放置,讓三角尺在BC所在的直線上向右平移.如圖①,當點E與點B重合時,點A恰好落在三角尺的斜邊DF上.
(1)利用圖①證明:EF=2BC.
(2)在三角尺的平移過程中,在圖②中線段AH=BE是否始終成立(假定AB,AC與三角尺的斜邊的交點分別為G,H)?如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由.
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【題目】已知在平面直角坐標系xOy中,O為坐標原點,線段AB的兩個端點的坐標分別為A (0,2),B(﹣1,0),點C為線段AB的中點,現(xiàn)將線段BA繞點B按逆時針方向旋轉90°得到線段BD,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)、經過點D.
(1)如圖1,若該拋物線經過原點O,且a=﹣1.
①求點D的坐標及該拋物線的解析式;
②連結CD,問:在拋物線上是否存在點P,使得∠POB與∠BCD互余?若存在,請求出所有滿足條件的點P的坐標,若不存在,請說明理由.
(2)如圖2,若該拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經過點E(﹣1,1),點Q在拋物線上,且滿足∠QOB與∠BCD互余,若符合條件的Q點的個數是4個,請直接寫出a的取值范圍 .
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【題目】某商場計劃購進甲、乙兩種商品共件,這兩種商品的進價、售價如表所示:
進價(元/件) | 售價(元/件) | |
甲種商品 | ||
乙種商品 |
設購進甲種商品(,且為整數)件,售完此兩種商品總利潤為元.
(1)該商場計劃最多投入元用于購進這兩種商品共件,求至少購進甲種商品多少件?
(2)求與的函數關系式;
(3)若售完這些商品,商場可獲得的最大利潤是__________元.
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【題目】已知二次函數y=﹣x2+4x-.
(1)用配方法把該函數解析式化為y=a(x﹣h)2+k的形式,并指出函數圖象的對稱軸和頂點坐標;
(2)求函數圖象與x軸的交點坐標.
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