Question

11．已知拋物線L：y=ax²+bx+c（b²-4ac＞0c≠0）分別交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，則稱△ABC為拋物線L的內(nèi)接三角形，拋物線L稱為△ABC的外接拋物線．
（1）如圖①，拋物線y=-x²-3x+4的內(nèi)接△ABC，求△ABC的面積．
（2）若拋物L(fēng)的內(nèi)接△ABC的面積為10，且A（-4，0），B（1，0），C（0，c），求拋物線L的解析式．
（3）如圖②，若拋物L(fēng)：y=-2x²-4x+c（c＞0）上有一點(diǎn)P（點(diǎn)P可以和點(diǎn)C 重合），且S_△PAB=mS_△ABC，請(qǐng)直接寫出當(dāng)c，m滿足什么關(guān)系時(shí)，使得這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2個(gè)．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得x₁=-4，x₂=1，故此可知AB=5，令x=0，得y=4從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），故此可知OC=4，最后由三角形的面積公式可求得△ABC的面積；
（2）由題意可知；BA=5，由三角形的面積公式可知OC=4，當(dāng)c=4時(shí)，拋物線的解析式為y=-x²-3x+4，當(dāng)c=-4可求得拋物線的解析式為y=x²+3x-4；
（3）由拋物線的解析式可求得拋物線的對(duì)稱軸方程為x=-1，將x=-1代入得y=2+c，從而得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2+c），在x軸的下方必然存在2個(gè)點(diǎn)P使得S_△PAB=mS_△ABC，故此再x軸的上S_△PAB＜mS_△ABC，從而得到PD＜mOC，故此可求得m與c的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）∵令y=0得：-x²-3x+4=0，解得：x₁=-4，x₂=1，
∴AB=5．
∵令x=0，得y=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．
∴OC=4．
由三角形的面積公式可知：△ABC的面積=$\frac{1}{2}AB•OC$-$\frac{1}{2}×5×4$=10．
（2）∵A（-4，0），B（1，0），C（0，c），
∴AB=5，OC=|c|．
∵△ABC的面積為10，
∴$\frac{1}{2}AB×OC$=10，即$\frac{1}{2}×5×|c|=10$．
解得：|c|=4．
∴c=4或c=-4．
當(dāng)c=4時(shí)，由（1）可知拋物線的解析式為y=-x²-3x+4．
當(dāng)c=-4時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-1），
∵將點(diǎn)（0，-4）代入得；a=1．
∴拋物線的解析式為y=x²+3x-4．
∴拋物線的解析式為y=-x²-3x+4或y=x²+3x-4．
（3）如圖所示：當(dāng)點(diǎn)P為與拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D．

由x=-$\frac{2a}$可知拋物線的對(duì)稱軸方程為x=$-\frac{-4}{-2×2}$=-1．
∵將x=-1代入拋物線的解析式得y=2+c．
∴PD=2+c．
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2+c）．
令x=0得，y=c．
∴OC=c．
∵使得S_△PAB=mS_△ABC的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2個(gè)，
∴當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，S_△PAB＜mS_△ABC．
∴PD＜mOC，即2+c＜mc．
整理得：c（m-1）＞2．
∴c，m的關(guān)系式為c（m-1）＞2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角形的面積公式，明確當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)且S_△PAB＜mS_△ABC時(shí)拋物線上存在2個(gè)點(diǎn)P使得S_△PAB=mS_△ABC是解題的關(guān)鍵．