Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A，B，拋物線y=ax2+bx-3a經過點A，將點B向右平移5個單位長度得到點C．若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結合函數圖象，a的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】a＜-或a≥或a=-1

【解析】

根據坐標軸上點的坐標特征可求點B的坐標，根據平移的性質可求點C的坐標，根據坐標軸上點的坐標特征可求點A的坐標，進一步求得拋物線的對稱軸，然后結合圖形，分三種情況：①a＞0；②a＜0，③拋物線的頂點在線段BC上；進行討論即可求解．

直線y=4x+4中，令x=0代入直線y=4x+4得y=4，令y=0代入直線y=4x+4得x=-1，
∴A（-1，0），B（0，4），
∵點B向右平移5個單位長度，得到點C，
∴C（5，4）；
將點A（-1，0）代入拋物線y=ax2+bx-3a中得0=a-b-3a，即b=-2a，
∴拋物線的對稱軸x=-=1；
∵拋物線y=ax2+bx-3a經過點A（-1，0）且對稱軸x=1，
由拋物線的對稱性可知拋物線也一定過A的對稱點（3，0），

①a＞0時，如圖1，

將x=0代入拋物線得y=-3a，
∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，
∴-3a＜4， a＞-，
將x=5代入拋物線得y=12a，
∴12a≥4，
∴a≥；
②a＜0時，如圖2，

將x=0代入拋物線得y=-3a，

∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，

∴-3a＞4，
∴a＜-；
③當拋物線的頂點在線段BC上時，則頂點為（1，4），如圖3，

將點（1，4）代入拋物線得4=a-2a-3a，
解得a=-1．

綜上所述：a＜-或a≥或a=-1．

故答案為：a＜-或a≥或a=-1．