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【題目】在正方形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,點P在線段BC上(不含點B),BPE=ACB,PE交BO于點E,過點B作BFPE,垂足為F,交AC于點G.

(1) 當點P與點C重合時(如圖).求證:BOG≌△POE;(4分)

(2)通過觀察、測量、猜想:= ,并結合圖證明你的猜想;(5分)

(3)把正方形ABCD改為菱形,其他條件不變(如圖),若ACB=α,求的值.(用含α的式子表示)(5分)

【答案】(1)證明見解析(2),證明見解析(3)

【解析】解:(1)證明:四邊形ABCD是正方形,P與C重合,

OB=OP , BOC=BOG=90°。

PFBG ,PFB=90°,∴∠GBO=90°—BGO,EPO=90°—BGO。

∴∠GBO=EPO 。∴△BOG≌△POE(AAS)。

(2)。證明如下:

如圖,過P作PM//AC交BG于M,交BO于N,

PNE=BOC=900, BPN=OCB。

∵∠OBC=OCB =450, NBP=NPB。

NB=NP。

∵∠MBN=900BMN, NPE=900BMN,MBN=NPE

BMN≌△PEN(ASA)。BM=PE

∵∠BPE=ACB,BPN=ACB,BPF=MPF。

PFBM,BFP=MFP=900。

PF=PF, BPF≌△MPF(ASA)。BF=MF 即BF=BM。

BF=PE,。

(3)如圖,過P作PM//AC交BG于點M,交BO于點N,

∴∠BPN=ACB=α,PNE=BOC=900。

由(2)同理可得BF=BM, MBN=EPN。

∵∠BNM=PNE=900,∴△BMN∽△PEN。

。

RtBNP中,, 。

(1)由正方形的性質可由AAS證得BOG≌△POE。

(2)過P作PM//AC交BG于M,交BO于N,通過ASA證明BMN≌△PEN得到BM=PE,通過ASA證明BPF≌△MPF得到BF=MF,即可得出的結論。

(3)過P作PM//AC交BG于點M,交BO于點N,同(2)證得BF=BM, MBN=EPN,從而可證得BMN∽△PEN,由和RtBNP中即可求得。

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