【題目】如圖,已知一條直線過點(diǎn)(0,4),且與拋物線y=x2交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-2.
(1)求這條直線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)過線段AB上一點(diǎn)P,作PM∥x軸,交拋物線于點(diǎn)M,點(diǎn)M在第一象限,點(diǎn)N(0,1),當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí),MN+3MP的長(zhǎng)度最大?最大值是多少?
【答案】(1)y=x+4,B(8,16)(2)存在.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-,0),(0,0),(6,0),(32,0)(3)18
【解析】試題分析:(1)首先求得點(diǎn)A的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式,從而求得直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖1,過點(diǎn)B作BG∥x軸,過點(diǎn)A作AG∥y軸,交點(diǎn)為G,然后分若∠BAC=90°,則AB2+AC2=BC2;若∠ACB=90°,則AB2=AC2+BC2;若∠ABC=90°,則AB2+BC2=AC2三種情況求得m的值,從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)設(shè)M(a,a2),如圖2,設(shè)MP與y軸交于點(diǎn)Q,首先在Rt△MQN中,由勾股定理得MN=a2+1,然后根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同得到x=,從而得到MN+3PM=﹣a2+3a+9,確定二次函數(shù)的最值即可.
試題解析:(1)y=x+4,B(8,16)
(2)存在.
過點(diǎn)B作BG∥x軸,過點(diǎn)A作AG∥y軸,交點(diǎn)為G,
∴AG2+BG2=AB2,
∵由A(-2,1),B(8,16)可求得AB2=325
.設(shè)點(diǎn)C(m,0),
同理可得AC2=(m+2)2+12=m2+4m+5,
BC2=(m-8)2+162=m2-16m+320,
①若∠BAC=90°,則AB2+AC2=BC2,即325+m2+4m+5=m2-16m+320,解得m=-;
②若∠ACB=90°,則AB2=AC2+BC2,即325=m2+4m+5+m2-16m+320,解得m=0或m=6;
③若∠ABC=90°,則AB2+BC2=AC2,即m2+4m+5=m2-16m+320+325,解得m=32,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-,0),(0,0),(6,0),(32,0)
(3)設(shè)M(a,a2),
設(shè)MP與y軸交于點(diǎn)Q,在Rt△MQN中,
由勾股定理得MN=,
又∵點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同,
∴x+4=a2,
∴x= ,
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,
∴MP=a-,
∴MN+3PM=a2+1+3(a-)=-a2+3a+9=- (a-6)2+18,
∵-2≤6≤8,
∴當(dāng)a=6時(shí),取最大值18,
∴當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí),MN+3PM的長(zhǎng)度的最大值是18
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,已知∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合),且保持AE=CF,連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中,有下列結(jié)論:
①四邊形CEDF有可能成為正方形;
②△DFE是等腰直角三角形;
③四邊形CEDF的面積是定值;
④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為.
其中正確的結(jié)論是( )
A.①④ B.②③ C.①②④ D.①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,CD⊥AB,EF⊥AB,垂足分別為D、F,∠1=∠2,
(1)試判斷DG與BC的位置關(guān)系,并說明理由.
(2)若∠A=70°,∠BCG=40°,求∠AGD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=4.點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P沿A→C的方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q沿B→C的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P、Q停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)四邊形ABQP的面積是△ABC面積的一半時(shí),求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°.
(1)試判斷BF與DE的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若BF⊥AC,∠2=150°,求∠AFG的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E在線段CD上,EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA,點(diǎn)F在線段AB上運(yùn)動(dòng),AD=4cm,BC=3cm,且AD∥BC.
(1)你認(rèn)為AE和BE有什么位置關(guān)系?并驗(yàn)證你的結(jié)論;
(2)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到離點(diǎn)A多少厘米時(shí),△ADE和△AFE全等?為什么?
(3)在(2)的情況下,此時(shí)BF=BC嗎?證明你的結(jié)論并求出AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AD∥CB,∠A=∠C,若∠ABD=32°,求∠BDC的度數(shù).有同學(xué)用了下面的方法.但由于一時(shí)犯急沒有寫完整,請(qǐng)你幫他添寫完整.
解:∵AD∥CB(已知)
∴∠C+∠ADC=180°(_________________),
又∵∠A=∠C (___________________),
∴∠A+∠ADC=180° (___________________),
∴AB∥CD (___________________________),
∴∠BDC=∠ABD=32° (___________________).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D,E分別是△ABC邊AC,BC上的點(diǎn),點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn).令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若點(diǎn)P在線段AB上,如圖①所示,且∠α=50°,則∠1+∠2=________°;
(2)若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng),如圖②所示,則∠α,∠1,∠2之間的關(guān)系為:____________;
(3)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上,如圖③所示,則∠α,∠1,∠2之間有何關(guān)系?猜想并說明理由;
(4)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外,如圖④所示,則∠α,∠1,∠2之間的關(guān)系為:____________.
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