Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，M為x軸上一點(diǎn)，⊙M交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C、D兩點(diǎn)，P為BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CQ平分∠PCD，且A（-1，0），M（1，0）．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AQ的長度是否改變？若不變，請求其值；若改變請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接MC，由A、M的坐標(biāo)可得出OA、OM、以及MA的值，再在Rt△OCM中，OC=

3

，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）作輔助線，連接AC，根據(jù)圓周角推論，等弧所對的圓周角相等，可得：∠ACD=∠P，又CQ平分∠OCP，可得：∠PCQ=∠OCQ，故：∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P，即∠ACQ=∠AQC，所以AQ=AC=2為定值；

解答：解：（1）連接MC．（1分）
由A（-1，0），M（1，0）可知，
OA=OM=1，MA=CM=2，（2分）
在Rt△OCM中，OM=1，CM=2，
根據(jù)勾股定理得：OC=

CM2-OM2

=

3

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，

3

）；  （4分）

（2）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AQ的長度不改變．    （5分）
由垂徑定理知：

AC

=

AD

，
∴∠P=∠ACD，（6分）
∵CQ平分∠PCD，
∴∠P+∠PCQ=∠ACD+∠DCQ，
即：∠ACQ=∠AQC，
∴AQ=AC．（7分）
在Rt△OCA中，OC=

3

，OA=1，
∴AC=2．
線段AQ的長度為2．（8分）

點(diǎn)評：本題考查垂徑定理的應(yīng)用．解此類問題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形里，運(yùn)用勾股定理求解．