【題目】某校數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次課外活動,過程如下:如圖①,正方形ABCD中,AB=4,將三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角頂點與D點重合.三角板的一邊交AB于點P,另一邊交BC的延長線于點Q.
(1)求證:AP=CQ;
(2)如圖②,小明在圖1的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線DE交BC于點E,連接PE,他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系,請猜測他的結(jié)論并予以證明;
(3)在(2)的條件下,若AP=1,求PE的長.
【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°,AD=BC=CD=AB=4,
∵∠PDQ=90°,
∴∠ADP=∠CDQ,
在△APD和△CQD中,
,
∴△APD≌△CQD(ASA),
∴AP=CQ
(2)解;PE=QE,理由如下:
由(1)得:△APD≌△CQD,
∴PD=QD,
∵DE平分∠PDQ,
∴∠PDE=∠QDE,
在△PDE和△QDE中,
,
∴△PDE≌△QDE(SAS),
∴PE=QE
(3)解:由(2)得:PE=QE,由(1)得:CQ=AP=1,
∴BQ=BC+CQ=5,BP=AB﹣AP=3,
設(shè)PE=QE=x,則BE=5﹣x,
在Rt△BPE中,由勾股定理得:32+(5﹣x)2=x2,
解得:x=3.4,
即PE的長為3.4
【解析】(1)由正方形的性質(zhì)得出∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°,AD=BC=CD=AB=4,證出∠ADP=∠CDQ,由ASA證明△APD≌△CQD,得出對應(yīng)邊相等即可;(2)由全等三角形的性質(zhì)得出PD=QD,證出∠PDE=∠QDE,由SAS證明△PDE≌△QDE,得出對應(yīng)邊相等即可;(3)由(2)和(1)得出PE=QE,CQ=AP=1,求出BQ=BC+CQ=5,BP=AB﹣AP=3,設(shè)PE=QE=x,則BE=5﹣x,在Rt△BPE中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠ADC=150°,四邊形ABCD的周長為32.
(1)求∠BDC的度數(shù);
(2)四邊形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,過點O的直線EF分別與AD、BC交于點E、F,EF⊥AC,連結(jié)AF、CE.
(1)求證:OE=OF;
(2)請判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形,請證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊.恰好得到菱形AECF.若AD= ,則菱形AECF的面積為( )
A.2
B.4
C.4
D.8
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【題目】下面兩個多位數(shù)1248624…… ,6248624…… ,都是按照如下方法得到的:將第一位數(shù)字乘以2,若積為一位數(shù),將其寫在第2位上,若積為兩位數(shù),則將其個位數(shù)字寫在第2位.對第2位數(shù)字再進(jìn)行如上操作得到第3位數(shù)字……,后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進(jìn)行如上操作得到的.當(dāng)?shù)?/span>1位數(shù)字是3時,仍按如上操作得到一個多位數(shù),則這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是( )
A. 495 B. 497 C. 501 D. 503
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=2x與反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖像交于點A(m,2),將直線y=2x向下平移后與反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖像交于點P,且△POA的面積為2.
(1)求k的值;
(2)求平移后的直線的函數(shù)解析式.
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