Question

【題目】如圖．在中，，，， 動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）線段長為 ．(用含的代數(shù)式表示)

（2）若與的面積比為1：4時(shí)， 求的值．

（3）設(shè)與重疊部分圖形的周長為， 求與之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）當(dāng)直線把分成的兩部分圖形中有一個(gè)是軸對(duì)稱圖形時(shí)，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）5t；（2）t=1；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ；（4）或t=2

【解析】

（1）先在Rt△ABC中求出tanA，再在Rt△ADE中求出DE，最后利用勾股定理求出AE；

（2）先判斷出△ABC∽△AED，再根據(jù)面積比得出相似比，進(jìn)而列式計(jì)算即可；

（3）由（1）（2）得：AD＝3t，DE＝4t，AE＝5t，BD＝103t，△ABC∽△AED，然后分情況討論：當(dāng)0＜t≤時(shí)；當(dāng)時(shí)；分別利用相似三角形的性質(zhì)求出重疊部分圖形的邊長，然后計(jì)算周長；

（4）分兩種情況：當(dāng)E在線段AC上，DE＝CE時(shí)，四邊形BCED是軸對(duì)稱圖形；當(dāng)DE和BC相交于F，AD＝AC時(shí)，四邊形ACFD是軸對(duì)稱圖形；分別用相等的線段建立方程求解即可．

解：（1）由題意得，AD＝3t，

在Rt△ABC中，，

在Rt△ADE中，，

∴DE＝4t，

根據(jù)勾股定理得，AE＝5t，

故答案為：5t；

（2）∵ED⊥AB，∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠ADE＝90°，

∵∠A＝∠A，

∴△ABC∽△AED，

∵與的面積比為1：4，

∴，即，

∴t＝1；

（3）由（1）（2）得：AD＝3t，DE＝4t，AE＝5t，△ABC∽△AED，

∵，

∴BD＝103t，

當(dāng)E、C重合時(shí)，即5t＝6，

解得：，

∴當(dāng)0＜t≤時(shí)，L＝3t＋4t＋5t＝12t；

當(dāng)D、B重合時(shí)，即3t＝10，

解得：，

∴當(dāng)時(shí)，如圖，

∵∠B＝∠B，∠BDF＝∠BCA，

∴△ABC∽△FBD，

∴，即，

∴DF＝，

∵∠BFD＝∠EFC，∠BDF＝∠ECF，

∴∠B＝∠E，

∵∠FCE＝∠BCA，

∴△BCA∽△ECF，

∴，即，

∴CF＝，

∴，

綜上：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

（4）當(dāng)E在線段AC上，DE＝CE時(shí)，四邊形BCED是軸對(duì)稱圖形，

由（1）知，AE＝5t，DE＝4t，

∴CE＝65t，

∴4t＝65t，

解得：，

當(dāng)DE和BC相交于F，AD＝AC時(shí)，四邊形ACFD是軸對(duì)稱圖形，

∵AD＝3t，AC＝6，

∴3t＝6，

解得：t＝2，

故t的值為或2．