Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于， （在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，過點(diǎn)作直線軸．

（1）點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線的下方，點(diǎn)，分別為軸，直線上的動(dòng)點(diǎn)，且軸，當(dāng)面積最大時(shí)，求的最小值；

（2）過（1）中的點(diǎn)作，垂足為，且直線與軸交于點(diǎn)，把繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°，得到，再把沿直線平移至，在平面上是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2），，，

【解析】

（1）根據(jù)題意求得點(diǎn)、、、的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線和直線解析式．過點(diǎn)作軸垂線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即能用表示、的坐標(biāo)進(jìn)而表示的長．由得到關(guān)于的二次函數(shù)，即求得為何值時(shí)面積最大，求得此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)．把點(diǎn)向上平移的長，易證四邊形是平行四邊形，故有．在直線的上方以為斜邊作等腰，則有．所以，其中的長為定值，易得當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上時(shí)，線段和的值最�。�又點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，，由垂線段最短可知過點(diǎn)作的垂線段時(shí)，最短．求直線、解析式，聯(lián)立方程組即求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得的長．

（2）先求得，，的坐標(biāo)，可得是等腰直角三角形，當(dāng)繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)再沿直線平移可得△，根據(jù)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，可得，，，，即可求得的坐標(biāo)，當(dāng)繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)再沿直線平移可得△，根據(jù)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，可得，，即可求得的坐標(biāo)．

解：（1）如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在上截取，連接，

以為斜邊在直線上方作等腰，過點(diǎn)作于點(diǎn)

時(shí)，

時(shí)，

解得：，

，

直線解析式為

拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3

，直線

點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上，軸

設(shè)拋物線上的點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，最大

，

，

，

四邊形是平行四邊形

等腰中，為斜邊

，

當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上時(shí)，最小

設(shè)直線解析式為

解得：

直線

設(shè)直線解析式為

解得：

直線

解得：

，

最小值為

（2），，

直線解析式為：，

，，

，，是等腰直角三角形，

如圖2，把繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，，，

把△沿直線平移至△，連接，

則直線解析式為，直線解析式為，顯然

以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，不可能為邊，只能以、為鄰邊構(gòu)成菱形

，

，

，，

如圖3，把繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)